峰式思维：等于零和趋于零在计算的时候到底有啥区别？

一、前言

在进行极限计算的时候，我们常常会遇到 $x = 0$ 或者 $x \rightarrow 0$ 的情况。那么，在具体计算的时候，我们该如何区分等于零和趋于零在计算过程中的不同性质和作用呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于“峰式思维”为同学们介绍一种解决该问题的“不严谨”但很实用的方法。

二、正文

对于趋于零的变量，如果我们直接将其看作 $0$ 不易找出计算思路的话，就可以用一个非常小的数字（例如 $0.1$）对趋于零的变量做“等效”代替，例如，当 $x \rightarrow 0$ 的时候，我们在某些运算场景下，就可以认为：

$$
\textcolor{yellow}{
x = 0.1
}
$$

Tip

当然，如果我们认为 $x = 0.00000000000001$, 则 $x$ 的值更加接近无穷小，但这样会导致计算变得繁杂，而取值为 $0.1$ 则兼顾了“小”和“实用”两种特性。

zhaokaifeng.com

下面，我们通过一道题目来感受一下这个方法的实用之处：

题目

难度评级：

解析

对于第 (1) 问：

首先，由一点处导数的定义可知：

$$
f ^{\prime} (0) = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f(k) – f(0)}{k}
$$

若我们令 $k \rightarrow 0$ 时的 $k$ 为：

$$
\textcolor{yellow}{
k = 0.1
}
$$

则：

$$
f ^{\prime} (0) = \lim_{k = 0.1} \frac{f(0.1) – f(0)}{0.1}
$$

由于 $0.1 \textcolor{orangered}{ \neq } 0$, 所以：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f(0.1) = 1
}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
f ^{\prime} (0) = \ & \lim_{k = 0.1} \frac{\textcolor{lightgreen}{ f(0.1) } – \textcolor{orange}{ f(0) } }{0.1} \\ \\
= \ & \lim_{k = 0.1} \frac{\textcolor{lightgreen}{1} – \textcolor{orange}{0}}{0.1} \\ \\
= \ & \lim_{k = 0.1} \frac{1}{0.1} \\ \\
= \ & \textcolor{springgreen}{ 10 }
\end{aligned}
$$

接着：

若令 $k \rightarrow 0$ 时的 $k = 0.01$, 则 $f ^{\prime} (0) = 100$;

若令 $k \rightarrow 0$ 时的 $k = 0.001$, 则 $f ^{\prime} (0) = 1000$;

··· ···

推广可知，当 $k \rightarrow 0$ 的时候，有：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
f ^{\prime} (0) = \infty
}
}
$$

对于第 (2) 问：

若我们令 $k \rightarrow 0$ 时的 $k$ 为：

$$
\textcolor{yellow}{
k = 0.1
}
$$

则：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{k \rightarrow 0} \frac{f(16k) – f(k)}{k} \\ \\
= \ & \lim_{k = 0.1} \frac{f(16 \times 0.1) – f(0.1)}{0.1} \\ \\
= \ & \lim_{k = 0.1} \frac{\textcolor{lightgreen}{f(1.6)} – \textcolor{orange}{ f(0.1) }}{0.1} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{gray}{ 1.6 \neq 0, 0.1 \neq 0 } \\ \\
= \ & \lim_{k = 0.1} \frac{\textcolor{lightgreen}{1} – \textcolor{orange}{ 1 }}{0.1} \\ \\
= \ & \lim_{k = 0.1} \frac{0}{0.1} \\ \\
= \ & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ 0 }}
\end{aligned}
$$

---