基于乘除法相对含量的式子复杂度定义

一、前言

不同的数学式子之间相对而言的复杂度肯定是不相同的，但是，我们该如何衡量这里所说的“复杂度”呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」基于乘除法和加减法计算难度的不同，提出了一种衡量式子复杂度的新方式。

二、正文

如果我们基于一个数学式子中含有的数字和其他符号的多少来定义一个数学式子的复杂度，势必会导致研究复杂问题的式子比研究简单问题的式子更复杂，没有体现出来复杂度的相对性。

同时，在包含“加、减、乘、除”的四则运算中，加法和减法是一种相对于乘法和除法而言更简单的运算方法。

因此，关于式子复杂度定义的核心思路是：

于是，根据加法（Addition）、减法（Subtraction）、乘法（Multiplication）和除法（Division）对应的首字母，我们用：

$\textcolor{lightgreen}{ \mathbf{MD} }$ 表示参与乘法分配律运算的乘法符号数量；
$\textcolor{lightgreen}{ \mathbf{\hat{AS}} }$ 表示乘法分配律运算中括号内参与加减运算的元素数量；
$\textcolor{lightgreen}{ \mathbf{md} }$ 表示不参与乘法分配律运算或次幂运算的单独的乘法符号数量；
$\textcolor{lightgreen}{ \mathbf{n} }$ 表示次幂；
$\textcolor{lightgreen}{ \mathbf{as} }$ 表示式子中所有参与加减运算的元素数量；
$\textcolor{lightgreen}{ \mathbb{C} }$ 表示式子的复杂度，

则：

$$
\textcolor{lightgreen}{ \mathbb{C} = \frac{\mathbf{\hat{MD}} \times \mathbf{\hat{AS}} + \mathbf{md} + \mathbf{n} – 1 }{ \mathbf{as} + 1 } } \tag{1}
$$

当然，上面的公式用中文表示就是：

$$
\textcolor{lightgreen}{ \mathbb{C} = \frac{ \text{乘除法运算的总量} }{ \text{加减法运算的总量} + 1 } }
$$

于是，根据公式 $\textcolor{lightgreen}{(1)}$, 我们可以计算出下面这些式子的复杂度：

式 子	$\mathbf{MD}$	$\mathbf{\hat{AS}}$	$\mathbf{md}$	$\mathbf{n}$	$\mathbf{as}$	复杂度
$a$ $\times b$	$0$	$0$	$1$	$0$	$0$	$100 \%$
$a$ $\times b$ $\times c$	$0$	$0$	$2$	$0$	$0$	$200 \%$
$a$ $+ b$ $+ c$	$0$	$0$	$0$	$0$	$2$	$0 \%$
$(a + 2)$ $\times b$	$1$	$2$	$0$	$0$	$1$	$100 \%$
$(a + b + c)$ $\times d$	$1$	$3$	$0$	$0$	$2$	$100 \%$
$a^{3}$ $+b$	$0$	$0$	$0$	$3$	$1$	$100 \%$
式子	$\mathbf{MD}$	$\mathbf{\hat{AS}}$	$\mathbf{md}$	$\mathbf{n}$	$\mathbf{as}$	复杂度

从上面的计算可以看出，公式 $\textcolor{lightgreen}{ (1) }$ 认为，加减法运算对式子复杂度的贡献基本为零，该公式主要关注了乘除法对式子复杂度的贡献。

综上可知，「荒原之梦考研数学」在本文中所提出的如下基于乘除法相对含量的式子复杂度计算公式，对于式子复杂度的计算虽然并不是非常“精细”，存在一定的“误差”，但仍然可以较明确地反映出一个式子的相对复杂度：

$$
\textcolor{lightgreen}{ \mathbb{C} = \frac{\mathbf{\hat{MD}} \times \mathbf{\hat{AS}} + \mathbf{md} + \mathbf{n} – 1 }{ \mathbf{as} + 1 } }
$$

当然，上面的计算公式还有继续改进的空间，例如给不同数量的加减法和乘除法添加不同的权重，或者根据是否存在括号等区分不同运算的复杂度，甚至将积分运算、求导运算、对数运算等对式子复杂度的影响考虑在内。

---