关于 $0/0$ 和 $\infty / \infty$ 型极限的正负性

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《高等数学中常见的2+5种”真未定式”和1+1种”假未定式”的解题思路图》这篇文章中，我们知道 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 是两种核心未定式。

既然是“未定式”，那么就存在“定”和“不定”两种状态：“定”就是存在极限，“不定”就是不存在极限。

在本文中，我们就主要讨论一下，当 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 存在极限的情况下，其分子和分母的正负性与式子极限的正负性之间关系的问题。

二、正文

我们知道，当一个分式的分子和分母都是确定数值的时候，分子和分母的正负性，会影响最终计算结果的正负性，例如：

$$
\begin{aligned}
& \frac{\textcolor{lightgreen}{+2}}{\textcolor{lightgreen}{+1}} = \textcolor{lightgreen}{+2} \\ \\
& \frac{\textcolor{orange}{-2}}{\textcolor{lightgreen}{+1}} = \textcolor{orange}{-2} \\ \\
& \frac{\textcolor{lightgreen}{+2}}{\textcolor{orange}{-1}} = \textcolor{orange}{-2}
\end{aligned}
$$

类似地，当一个分式的分子和分母都是极限值的时候，且该分式的极限存在的时候，分子和分母的正负性，也会影响最终计算结果（即极限）的正负性。

于是，对于 $\frac{0}{0}$ 型的定式（即极限存在）和常数 $K > 0$, 我们有：

$$
\begin{aligned}
& \frac{\textcolor{lightgreen}{0^{+}}}{\textcolor{lightgreen}{0^{+}}} = \textcolor{lightgreen}{+ K} \\ \\
& \frac{\textcolor{orange}{0^{-}}}{\textcolor{lightgreen}{0^{+}}} = \textcolor{orange}{- K} \\ \\
& \frac{\textcolor{orange}{0^{-}}}{\textcolor{lightgreen}{0^{+}}} = \textcolor{orange}{- K}
\end{aligned}
$$

类似地，对于 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的定式（即极限存在）和常数 $K > 0$, 我们有：

$$
\begin{aligned}
& \frac{\textcolor{lightgreen}{+ \infty}}{\textcolor{lightgreen}{+ \infty}} = \textcolor{lightgreen}{+ K} \\ \\
& \frac{\textcolor{orange}{- \infty}}{\textcolor{lightgreen}{+ \infty}} = \textcolor{orange}{- K} \\ \\
& \frac{\textcolor{lightgreen}{+ \infty}}{\textcolor{orange}{- \infty}} = \textcolor{orange}{- K}
\end{aligned}
$$

在实际应用的时候，我们只需要知道“ (1) 分 母 极 限 的 正 负 ”、“ (2) 分 子 极 限 的 正 负 ”以及整个式子“ (3) 极 限 值 的 正 负 ”，这三个条件中的两个，就可以推导出剩余的第三个值的正负：

$$
\textcolor{yellow}{
\frac{\text{(1) 分母极限的正负}}{\text{(2) 分子极限的正负}} = \text{(3) 极限值的正负}
}
$$

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