极限什么时候需要区分正负，什么时候不需要区分正负？

一、前言

在高等数学的一些题目中（假设变量为 $x$），我们会遇到需要区分：
$\textcolor{lightgreen}{\blacklozenge}$ $x \rightarrow 0^{+}$ 和 $x \rightarrow 0^{-}$;
$\textcolor{lightgreen}{\blacklozenge}$ $x \rightarrow k^{+}$ 和 $x \rightarrow k^{-}$;
$\textcolor{lightgreen}{\blacklozenge}$ $x \rightarrow + \infty$ 和 $x \rightarrow – \infty$
的情况（其中 $k$ 为常数）。

以及不需要区分正负，只需要考虑：
$\textcolor{lightgreen}{\blacksquare}$ $x \rightarrow 0$;
$\textcolor{lightgreen}{\blacksquare}$ $x \rightarrow k$;
$\textcolor{lightgreen}{\blacksquare}$ $x \rightarrow \infty$
的情况。

那么，我们该怎么判度一个含有极限的极限式子是否需要考虑极限的正负呢？

在本文中，「 荒 原 之 梦 考 研 数 学 」将通过思路图和例题，为同学们讲清楚这个问题。

二、正文

首先，我们要明白，求解一个式子的极限其实就是在化简这个式子，而化简的目标就是减少极限变量在整个式子中的个数，尽可能暴露出常量，从而求得极限值或者判断出极限不存在。

所以，在求解极限式子或者说化简极限式子的过程中，最重要的就是消去式子中含有极限变量的部分。当然，有时候为了完成这样的“消去”动作，还需要利用等价无穷小等将极限式子中复杂的形式转换为较简单和一致的形式。

本着这样一个核心目标，我们在求解极限式子的时候，可以先按照极限变量，将原式子划分成多个子式子（即“极限一”、“极限二”等），然后分别对这些式子进行极限的计算。在计算这些式子的时候，先考虑其极限值与极限的正负是否无关，如果是，则不区分极限的正负，直接计算；如果否，则区分极限的正负，针对正极限和负极限分别计算，流程示意图如图 01 所示：

下面我们通过一道例题，来感受一下这种计算思路：

题目

解析

为了使原式中极限的大小关系更加简洁直观，我们令 $t$ $=$ $\frac{1}{x}$, 则：

$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{x+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}} = \textcolor{violet}{ \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1-\mathrm{e}^{t}}{\frac{1}{t} + \mathrm{e}^{t}} }
$$

由于无论 $t \rightarrow + \infty$ 还是 $t \rightarrow – \infty$, 都有 $\textcolor{orangered}{ \frac{1}{t} }$ $\rightarrow$ $0$, 所以：

$$
I = \textcolor{violet}{ \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1-\mathrm{e}^{t}}{ \textcolor{orangered}{ \frac{1}{t} } + \mathrm{e}^{t}} } = \textcolor{yellow}{ \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{1 – \mathrm{e}^{t}}{\mathrm{e}^{t}} }
$$

接着，由于：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{t \rightarrow \textcolor{orange}{+ \infty} } \mathrm{e}^{t} \rightarrow \textcolor{orange}{ + \infty } \\
& \lim_{t \rightarrow \textcolor{lightgreen}{ – \infty } } \mathrm{e}^{t} \rightarrow \textcolor{lightgreen}{ 0 }
\end{aligned}
$$

所以，接下来对式子 $I$ 的极限运算需要考虑 $t \rightarrow + \infty$ 和 $t \rightarrow – \infty$ 两种情况：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ I }} & = \textcolor{yellow}{ \lim_{t \rightarrow \textcolor{orange}{+ \infty} } \frac{1 – \mathrm{e}^{t}}{\mathrm{e}^{t}} } = \lim_{t \rightarrow \textcolor{orange}{+ \infty} } \frac{- \mathrm{e}^{t}}{\mathrm{e}^{t}} = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ -1 }} \\
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ I }} & = \textcolor{yellow}{ \lim_{t \rightarrow \textcolor{lightgreen}{- \infty} } \frac{1 – \mathrm{e}^{t}}{\mathrm{e}^{t}} } = \frac{1-0}{0} = \frac{1}{0} = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \infty }}
\end{aligned}
$$

所以，式子 $I$ 事实上是一个发散数列，当 $t \rightarrow \infty$ 的时候，式子 $I$ 的极限并不存在

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