分类： 高等数学

问题

根据【曲线拐点的定义】，下面哪个选项可以说明函数 $f(x)$ 定义域上的点 $x_{0}$ 对应着该函数的一个拐点？

选项

[A].   函数的凹凸性在点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 处发生了变化

[B].   函数的大小性在点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 处发生了变化

[C].   函数的正负性在点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 处发生了变化

[D].   函数的增减性在点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 处发生了变化

   答 案   

如果函数 $f(x)$ 的【凹凸】性在过点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 的时候发生了改变，则称点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 是该函数的一个拐点.

关于什么是拐点，可以参考荒原之梦网的这篇文章：《什么是驻点和拐点？》

问题

设函数 $f(x)$ 在区间 $U$ 上连续，$x_{1}$ 和 $x_{2}$ 为区间 $U$ 上的任意两点，则根据【曲线凹凸性的定义】，以下哪些选项是正确的？

选项

[A].   $f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $>$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{White}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凸的.

[B].   $f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $<$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{White}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凸的.

[C].   $f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $<$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{White}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凹的.

[D].   $f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $>$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{White}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凹的.

   答 案   

$f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $<$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凹的.
$f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $>$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凸的.

问题

设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某去心邻域 $\mathring{U(x_{0})}$ 内可导，且 $f'(x_{0})$ $=$ $0$, 则以下哪个选项是函数极值【不存在】的一个【充分条件】？

选项

[A].   $f'(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两边不变号

[B].   $f'(x_{0})$ $\neq$ $0$

[C].   $f'(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两边变号

[D].   $f'(x)$ 不存在

   答 案   

若当 $x$ $\in$ $\mathring{U(x_{0})}$ 时，$f'(x)$ 不变号，则表明函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处一定不取得极值.

问题

设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某去心邻域 $\mathring{U(x_{0})}$ 内可导，$f'(x_{0})$ $=$ $0$, 且 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ 存在，则以下哪个选项是函数极值存在的一个【充分条件】？

选项

[A].   $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $=$ $0$

[B].   $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $=$ $1$

[C].   $f^{\prime \prime}(x_{0})$ 不存在

[D].   $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $>$ $0$ 或 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $<$ $0$

   答 案   

当 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $<$ $0$ 的时候，函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极大值.
当 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $>$ $0$ 的时候，函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极小值.

注意：若 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $=$ $0$, 则极值不存在，因此，只有当 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $\neq$ $0$, 极值才【有可能】存在.

问题

设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某去心邻域 $\mathring{U(x_{0})}$ 内可导，且 $f'(x_{0})$ $=$ $0$, 则以下哪个选项是函数极值存在的一个【充分条件】？

选项

[A].   $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧始终等于零

[B].   $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧不发生变化

[C].   $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧发生变化

[D].   $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧都不存在

   答 案   

函数极值存在的第一充分条件

简明版：
当 $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧发生变化的时候，就表明函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值.

标准版：
若 $x$ $\in$ $(x_{0} – \sigma, x_{0})$ 时，$f'(x)$ $>$ $0$ $(<0)$, 且 $x$ $\in$ $(x_{0}, x_{0} + \sigma)$ 时，$f'(x)$ $<$ $0$ $(>0)$, 则函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极大（小）值. 其中，$\sigma$ $>$ $0$.

问题

下面哪个选项是函数极值存在的【必要条件】？

选项

[A].   $f'(x_{0})$ $\neq$ $0$

[B].   $f'(x_{0})$ $=$ $0$

[C].   $f'(x_{0})$ $\leqslant$ $0$

[D].   $f'(x_{0})$ $\geqslant$ $0$

   答 案   

$f'(x_{0})$ $=$ $0$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极值.
$f(x_{0})$ 是一个极值 $\color{Green}{\nRightarrow}$ $f'(x_{0})$ $=$ $0$.

说明：由必要条件可以推出结论，但由结论不一定能推出必要条件.

于是可知，$f'(x_{0})$ $=$ $0$ 是函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值的一个必要条件.

关于必要条件，可以查看荒原之梦网的这篇文章：《什么是必要条件？》

问题

已知，函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个领域 $U(x_{0})$ 内有定义，$x$ 表示点 $x_{0}$ 的去心邻域 $\mathring{U_{x_{0}}}$ 内的任意一点.
那么，根据【函数极值的定义】，下面哪些选项是正确的？

选项

[A].   $f(x)$ $<$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极小值

[B].   $f(x)$ $>$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极大值

[C].   $f(x)$ $\leqslant$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极大值

[D].   $f(x)$ $>$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极小值

[E].   $f(x)$ $\geqslant$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极小值

[F].   $f(x)$ $<$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极大值.

   答 案   

$f(x)$ $<$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极大值.
$f(x)$ $>$ $f(x_{0})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x_{0})$ 是一个极小值.

问题

以下关于【函数极值】的说法中，正确的是哪个？

选项

[A].   函数的极值就是最大值

[B].   函数的极值就是极大值

[C].   函数的极值包括极大值和极小值

[D].   函数的极值就是极小值

   答 案   

函数的极值包括“极大值”和“极小值”.

关于函数极值的更多内容，可以参考荒原之梦网的这篇文章：《什么是极值点和最值点？》

问题

$\cot x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：

1. 下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(0, \pi)$
2. 式子中的 $B_{2n}$ 表示“伯努利数”，关于伯努利数的详情可以参考荒原之梦网的这篇文章：《常见的伯努利数汇总》.
   

   选项

   [A].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n-1} B_{2n}}{(2n-1)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [B].   $\frac{1}{x}$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $-$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n+1} B_{n}}{(2n+1)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [C].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [D].   $\frac{1}{x}$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $-$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   
   
      答 案   

   
   

   $\cot x$ 的麦克劳林公式

   完整版：
   
   $\cot x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $-$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

   求和版：
   
   $\cot x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n} 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

   简略版：
   
   $\cot x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $-$ $\frac{1}{45}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：

问题

$\csc x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：

1. 下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(0, \pi)$
2. 式子中的 $B_{2n}$ 表示“伯努利数”，关于伯努利数的详情可以参考荒原之梦网的这篇文章：《常见的伯努利数汇总》.
   

   选项

   [A].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{306}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [B].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [C].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$
   
   [D].   $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}+1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$
   
   
   
      答 案   

   
   

   $\csc x$ 的麦克劳林公式

   完整版：
   
   $\csc x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

   求和版：
   
   $\csc x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n+1}2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$ $.$

   简略版：
   
   $\csc x$ $=$ $\frac{1}{x}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x$ $+$ $\frac{7}{360}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：

问题

$\sec x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：

1. 下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(\frac{- \pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
2. 式子中的 $E_{2n}$ 表示“欧拉数”，关于欧拉数的详情可以查看荒原之梦网的这篇文章：《常见的欧拉数取值》

   选项

   [A].   $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{5}{24}$ $\cdot$ $x^{4}$ $+$ $\frac{61}{720}$ $\cdot$ $x^{6}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}E_{2n}}{(2n-1)!}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$
   
   [B].   $x$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{5}{24}$ $\cdot$ $x^{4}$ $+$ $\frac{61}{720}$ $\cdot$ $x^{6}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$
   
   [C].   $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{5}{24}$ $\cdot$ $x^{4}$ $+$ $\frac{61}{720}$ $\cdot$ $x^{6}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$
   
   [D].   $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{5}{24}$ $\cdot$ $x^{4}$ $+$ $\frac{61}{720}$ $\cdot$ $x^{6}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$
   
   
   
      答 案   

   
   

   $\sec x$ 的麦克劳林公式

   完整版：
   
   $\sec x$ $=$ $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{5}{24}$ $\cdot$ $x^{4}$ $+$ $\frac{61}{720}$ $\cdot$ $x^{6}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$ $.$

   求和版：
   
   $\sec x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}$ $\cdot$ $x^{2n}$ $.$

   简略版：
   
   $\sec x$ $=$ $1$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $x^{2}$ $+$ $\frac{5}{24}$ $\cdot$ $x^{4}$ $.$
   

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：

问题

$\arcsin x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(-1, 1)$

选项

[A].   $x$ $+$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{10}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$

[B].   $1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n)}$ $\cdot$ $x^{2n}$

[C].   $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$

[D].   $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{6}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$

   答 案   

$\arcsin x$ 的麦克劳林公式

完整版：

$\arcsin x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$ $.$

求和版：

$\arcsin x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}$ $.$

简略版：

$\arcsin x$ $=$ $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{3}{40}$ $\cdot$ $x^{5}$ $.$

与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，

$\arcsin x$ $\sim$ $x$ $.$

$\arcsin x$ $\sim$ $x$ $+$ $\frac{1}{6}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $\arcsin x$ $-$ $x$ $\sim$ $\frac{1}{6}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：

问题

$\arctan x$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$[-1, 1]$

选项

[A].   $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$

[B].   $1$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $-$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}}{2n}$ $\cdot$ $x^{2n}$

[C].   $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}}{2n-1}$ $\cdot$ $x^{2n-1}$

[D].   $1$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$

   答 案   

$\arctan x$ 的麦克劳林公式

完整版：

$\arctan x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$ $.$

求和版：

$\arctan x$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{(-1)^{n}}{2n+1}$ $\cdot$ $x^{2n+1}$ $.$

简略版：

$\arctan x$ $=$ $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $+$ $\frac{1}{5}$ $\cdot$ $x^{5}$ $.$

与等价无穷小的关系：当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$\arctan x$ $\sim$ $x$ $-$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $x$ $-$ $\arctan x$ $\sim$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $x^{3}$ $.$

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：

问题

$\frac{1}{1+x}$ 在 $x_{0}$ $=$ $0$ 处的【麦克劳林公式】是什么？

说明：下面所有选项中 $x$ 的取值范围都是：$(-1, 1)$

选项

[A].   $x$ $-$ $x^{2}$ $+$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $x^{n-1}$

[B].   $1$ $-$ $x$ $+$ $x^{2}$ $-$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $x^{n+1}$

[C].   $x$ $+$ $x^{2}$ $-$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $x^{n}$

[D].   $1$ $-$ $x$ $+$ $x^{2}$ $-$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $x^{n}$

   答 案   

$\frac{1}{1+x}$ 的麦克劳林公式

完整版：

$\frac{1}{1+x}$ $=$ $1$ $-$ $x$ $+$ $x^{2}$ $-$ $x^{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $x^{n}$ $.$

求和版：

$\frac{1}{1+x}$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\cdot$ $x^{n}$ $.$

简略版：

$\frac{1}{1+x}$ $=$ $1$ $-$ $x$ $+$ $x^{2}$ $-$ $x^{3}$ $.$

$\frac{1}{1+x}$ 的麦克劳林公式其实就是当 $a$ $=$ $-1$ 时，$(1+x)^{a}$ 的麦克劳林公式.

辅助图像：

常用的麦克劳林公式：