我们知道，在对一个式子进行积分的时候，如果式子中自变量的次幂都是相同的，就会比较方便进行运算.
我们还知道，平方运算可以让一个式子的次幂增加（反过来看就是减少），例如 $\left( x^{\textcolor{#00bffe}{3}} \right)^{2}$ $=$ $x^{\textcolor{#00bffe}{6}}$; 而每次求导运算可以将一个式子的次幂减少 $1$ 次，例如 $\mathrm{d} \left( x^{\textcolor{yellow}{3}} \right)$ $=$ $\frac{1}{3} x^{\textcolor{yellow}{2}} \mathrm{~d} x$.
所以，对于被积函数中次幂不同部分，可以尝试通过平方运算与求导运算结合使用的方式，凑成相同的次幂.
继续阅读“平方与求导或许可以将被积函数中次幂不同的部分凑成相同的次幂”在本文中，「荒原之梦考研数学」就来讨论一下高等数学中会遇到的三种取整运算：取整、上取整、下取整.
在本文中，我们：
用 “$\left[ x \right]$” 表示对 $x$ 做取整操作；
用 “$\lceil x \rceil$” 表示对 $x$ 做上取整操作；
用 “$\lfloor x \rfloor$” 表示对 $x$ 做下取整操作.
在本文的前言部分，我之所以强调我们现在所讨论的取整、上取整和下取整运算是“高等数学”中的，是因为，在其他领域的语境下，“取整”运算指的是“四舍五入”运算，也就是说，在高等数学之外的领域，对 “$5.1$” 做取整操作，得到是 “$5$”, 而对 “$5.7$” 做取整操作，得到的是 “$6$”——
但是，在高等数学中，“ 取 整 ”运算等同于“ 下 取 整 ”运算，即“将一个实数 舍 为 最 接 近 的 整 数 ”：
$$
\begin{aligned}
& \left[ 5.1 \right] = \lfloor 5.1 \rfloor = 5 \\ \\
& \left[ 5.7 \right] = \lfloor 5.7 \rfloor = 5
\end{aligned}
$$
同时，在高等数学中，“ 上 取 整 ”运算，即“将一个实数 进 为 最 接 近 的 整 数 ”：
$$
\begin{aligned}
& \left[ 5.1 \right] = \lfloor 5.1 \rfloor = 6 \\ \\
& \left[ 5.7 \right] = \lfloor 5.7 \rfloor = 6
\end{aligned}
$$
我们知道，对不定积分的计算结果都要加上一个常数 $C$, 例如：
$$
\int f(x) \mathrm{~d} x = Z(x) + C
$$
也就是说，无论是 $Z(x) + 1$, $Z(x) + 2$, 还是 $Z(x) + 100$ 都是不定积分 $\int f(x) \mathrm{~d} x$ 的计算结果.
那么，是否存在一些不定积分，其结果可以表示为两个不同的函数，并且这两个函数之间并不是相差一个常数的关系呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两个例子，来讨论一下这一问题.
继续阅读“同一个不定积分的不同计算结果真的只相差任意常数吗？”有些时候，当式子的底数和指数都含有变量的时候，就会难以直接进行求导运算. 此时，我们就可以先对原式取对数. 在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过例题为同学们讲解对数的这一使用方式.
继续阅读“取对数的好处：将底数上的变量移动到指数上”在本文中，「荒原之梦考研数学」将从下面这个式子出发，为同学们讲解清楚，为什么我们不能对该式子分子中的 “$\ln (1 + \tan x)$” 做局部的等价无穷小替换：
$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln(1+\tan x)}{x^2} = ?
$$
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两道题目，总结出以下两个有关自然对数 $\ln$ 的二级结论：
$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x = 0; \\ \\
& \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{a} \ln x = 0, \quad (a > 0).
\end{aligned}
$$
已知，函数 $u$ $=$ $(x^{2} + y^{2})z^{2} + \sin x^{2}$，求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$ 及 $\frac{\partial u}{\partial z}$.
继续阅读“求一个变量的偏导数的时候，其他所有“同级变量”都可以看作常数”如果我们有一个数列如下：
$$
\{ x_{n} \} = \{ 1, 2, 3, \cdots, n \}
$$
那么，我们可以很容易地知道，数列 $\{ x_{n+1} \}$ 为：
$$
\{ x_{n+1} \} = \{ 1, 2, 3, \cdots, n, n+1 \}
$$
类似地，如果我们有一个级数如下：
$$
x_{n} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n
$$
那么，我们可以很容易地知道，级数 $x_{n+1}$ 为：
$$
x_{n+1} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n + (n + 1)
$$
现在的问题是：
已知，函数 $f(x, y)$ $=$ $\begin{cases} \dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & (x, y)=(0, 0), \end{cases}$, 求 $f_{x}(x, y)$ 和 $f_{y}(x, y)$.
继续阅读“分段函数的偏导数要分段求解”在本文中，「荒原之梦考研数学」会首先给同学们介绍一下常见的未定式、以及这些常见的未定式为什么可能存在极限值，还有为什么不存在 $0 – 0$ 型的未定式.
继续阅读“为什么没有 $0 – 0$ 型未定式？”在计算式子极限的时候，对于形如 $\infty^{0}$, $1^{\infty}$ 和 $0^{0}$ 这样的式子，我们一般都可以先尝试对其取自然对数 $\ln$, 因为这样可以将形如 $\infty^{0}$, $1^{\infty}$ 和 $0^{0}$ 极限，转换为形如 $\frac{\infty}{\infty}$ 或者 $\frac{0}{0}$ 的极限，从而就可以使用洛必达法则，或者其他求解极限的方式完成接下来的求解过程.
继续阅读“次幂形式的极限未定式，一般都可以先尝试取对数”在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过有关反三角函数 $\arctan$ 的一个恒等式，给出一个一般考研辅导资料中没有提到的等价无穷小公式.
继续阅读“由 $\arctan$ 的三角恒等式得到的一个等价无穷小公式”