已知，函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导, $\left\{ \alpha_{n} \right\}$ 与 $\left\{\beta_{n} \right\}$ 是两个趋于 0 的正数列, 请求解下面的极限：
$$
I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f \left(x_{0} + \alpha_{n} \right) – f \left(x_{0} – \beta_{n} \right)}{\alpha_{n} + \beta_{n} }
$$
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继续阅读“没说邻域内可导不能用洛必达法则”
我们知道，如果函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某个邻域内有定义（不需要一定在该邻域内可导），且函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，则：
$$
\begin{aligned}
f ^{\prime} (x_{0}) \\ \\
& = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}} \\ \\
& = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}
\end{aligned}
$$
上面的公式也被称作函数在一点处导数的定义式。
但事实上，上面式子中的等号严格的来说是不成立的，且在有些时候，我们不能直接使用上面的式子完成解题。
所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助极限与无穷小的关系，对上面的式子进行完善，以形成一个比较完备的一点处导数的定义式。
继续阅读“借助极限与无穷小的关系，对一点处导数的定义式进行完善”$$
\lim_{ n \rightarrow \infty } \left( \frac { a^{\frac{1}{n} } + b^{ \frac{1}{n} } + c^{ \frac{1}{n}} }{3} \right)^{n}
$$
其中 $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$
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继续阅读“式子中极限为 $1$ 的部分可直接写成 $1$：因为 $1$ 事实上不会对式子产生任何影响”$$
\lim_{ n \rightarrow \infty } n \left[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} – \mathrm{e} \right] = ?
$$
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继续阅读“证明无限趋于并不是等于的方法：放大无穷多倍”我们知道，一般情况下，积分会导致函数的奇偶性发生改变。例如，在下面的式子中，一般情况下，如果函数 $f(x)$ 是奇函数，则 $F(x)$ 就是偶函数；如果函数 $f(x)$ 是偶函数，则 $F(x)$ 就是奇函数：
$$
F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t
$$
但是，如果我们要分析的是下面这个式子，则函数 $f(x)$ 的奇偶性会对函数 $F(x)$ 的奇偶性产生什么样的影响呢？
$$
F(x) = \int_{0}^{x} g(x) \cdot f(t) \mathrm{~d} t
$$
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过详细的计算，给同学们讲明白这个问题。
继续阅读“关于积分对函数奇偶性影响的一个扩展公式”已知 $u$ $=$ $\frac{x+y}{2}$, $v$ $=$ $\frac{x-y}{2}$, $w$ $=$ $z \mathrm{e}^{y}$, 取 $u$, $v$ 为新自变量，$w$ $=$ $w(u, v)$ 为新函数，请将下面的方程变换为以 $u$ 和 $v$ 为自变量的表示形式：
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2 } z}{\partial x \partial y} + \frac{\partial z}{\partial x} = z
$$
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继续阅读“复合函数求偏导的两种理解方式”下面这个恒等式是考研数学中和高等数学中一个很重要的恒等式：
$$
\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}
$$
在本文中，荒原之梦考研数学将给同学们证明上面这个式子。
继续阅读“关于 $\arctan$ 的一个恒等式及其证明”已知，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且：
$$
f(1)=k \int_0^{\frac{1}{k}} x \mathrm{e}^{1-x} f(x) \mathrm{~d} x
$$
其中常数 $k>1$.
请证明存在 $\xi \in(0,1)$, 使得下式成立：
$$
f^{\prime}(\xi)=\left(1-\frac{1}{\xi}\right) \cdot f(\xi)
$$
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继续阅读“计算含有“表述环路”的式子，首先需要“打破环路””已知，函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f ^{\prime} (x)$ $=$ $f(n-x)$, $f(0)$ $=$ $1$, 则：
$$
f(x) = ?
$$
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继续阅读“导数等于原函数的“平移”：这样的函数一般都由三角函数构成”$$
I = \int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} \ln ( \sin x ) \mathrm{~d} x = ?
$$
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继续阅读“明修栈道，暗度陈仓：化简对数函数先凑乘法”请求解下面式子的极限：
$$
\begin{aligned}
K_{1} & = \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ a^{x} – x^{a}}{x-a} \\ \\
K_{2} & = \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ x^{x} – a^{a} }{x-a} \\ \\
K_{3} & = \lim_{x \rightarrow a } \frac{\tan x – \tan a}{ x^{a} – a^{a} }
\end{aligned}
$$
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继续阅读“利用导数的定义求解式子的极限”已知 $y(x)$ $=$ $\sin^{3} x$ $+$ $\sin x \cos x$, 则：
$$
y^{(n)} = ?
$$
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继续阅读“求三角函数的 $n$ 阶导：先降幂”三角函数的二倍角公式（$\sin 2x$, $\cos 2x$, $\tan 2x$, $\cot 2x$）很常用，三角函数的三倍角公式在求解一些题目的时候，也是一个非常有用的工具。在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们整理出一份常用的三角函数三倍角公式。
继续阅读“三角函数的三倍角公式”