通过画图理解函数与数列之间相互嵌套复合后的敛散与单调性

一、前言

函数与数列具有很多相似的性质，例如敛散性和单调性等，但毕竟函数是一个基于“连续”的数学概念，而数列是一个基于“离散”的数学概念，所以，函数和数列之间也存在着诸多的区别。

那么，如果让函数和数列，通过嵌套复合的方式组成新的数列，则新数列的敛散性和单调性会呈现出来什么样的性质呢，我们该如何快速、形象又准确地判断出来这些性质呢？

在本文中，「 荒 原 之 梦 考 研 数 学 」将使用“ 峰 式 ”解法和传统解法两种方法为同学们提供一些求解此类问题的全新思路，希望可以帮助同学们提升解决这类问题的速度并理清相关思路。

二、正文

前期准备

在阅读本文之前，建议同学们先阅读「荒原之梦考研数学」的《峰式图形法：直观地理解数列及数列的基本性质》这篇文章，在这篇文章中，「荒原之梦考研数学」用比较形象的方式剖析了数列的本质，有助于同学们理解本文中题目的解题思路。

此外，对于函数嵌套数列，或者数列嵌套函数所形成的新式子，我们可以通过下面这幅示意图来理解其中的关联：

如图 01 所示，如果我们把坐标系的横轴和竖轴分别定义为数列 $\{ x_{n} \}$ 和数列 $\{ y_{n} \}$, 则数列 $\textcolor{#E69138}{ \{ x_{n} \} }$ 到函数 $\textcolor{#00FF02}{ f(x) }$ 的映射，就是数列 $\textcolor{#FF0000}{ \{ f \left( x_{n} \right) \} }$; 函数 $\textcolor{#00FF02}{f(x)}$ 到数列 $\{ y_{n} \}$ 的映射就是数列 $\textcolor{#3C78D8}{ \{ y[f(x)] \} }$.

典型习题

题目

(A)» 若 $\{ f \left( x_{n} \right) \}$ 单调，则 $\{ x_{n} \}$ 收敛

(B)» 若 $\{ f \left( x_{n} \right) \}$ 收敛，则 $\{ x_{n} \}$ 收敛

(C)» 若 $\{ x_{n} \}$ 单调，则 $\{ f \left( x_{n} \right) \}$ 收敛

(D)» 若 $\{ x_{n} \}$ 收敛，则 $\{ f \left( x_{n} \right) \}$ 收敛

峰式解法

由于本题中只涉及数量列 $\{ x_{n} \}$, 以及数列 $\{ x_{n} \}$ 嵌套函数 $f(x)$ 形成的数列 $\{ f(x_{n}) \}$, 所以，我们可以将前面的图 01 简化成下面的图 02:

虽然图 01 中的函数是一个严格单调且在区间 $(- \infty, + \infty)$ 上无界的函数，但这并不影响我们借助就该图对本题中的选项进行判断。

“单调”不是“严格单调”，单调的函数中允许存在不增不减的部分，而严格单调的函数中则不允许存在这样的部分。

根据「荒原之梦考研数学」的《峰式图形法：直观地理解数列及数列的基本性质》这篇文章可知：

• 一列数就是数列，表现在数轴上就是，数列的取值可以出现在数轴上的任意位置，可以有规律，也可以没有任何规律；
• 如果一个数列无论怎么取值都不会超过数轴上的某个区间，则该数列就是收敛的。

接着，由于函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内单调有界，而数列 $\{ f(x_{n}) \}$ 其实就是在函数 $f(x)$ 的函数图像上取得的一些离散的点形成的，如果我们按照从左向右的顺序在数轴 $\{ x_{n} \}$ 上取点 $\{ x_{1} \}$, $\{ x_{2} \}$, $\{ x_{3} \}$, $\cdots$, $\{ x_{n} \}$, 那么，投影在函数 $f(x)$ 上的数列元素 $\{ f(x_{1}) \}$, $\{ f(x_{2}) \}$, $\{ f(x_{3}) \}$, $\cdots$, $\{ f(x_{n}) \}$ 就会具有和函数 $f(x)$ 一样的单调性和敛散性，如图 03 和图 04 所示：

但很明显，在数轴（上图中坐标系的横轴）从左向右取值形成的数列 $\{ x_{n} \}$ 是一个发散的数列（例如 $\{ x_{n} \}$ $=$ $1$, $2$, $3$, $\cdots$, $n$），而不是一个收敛的数列。因此，虽然此时的数列 $\{ f \left( x_{n} \right) \}$ 单调，但是对应的数列 $\{ x_{n} \}$ 并不收敛；类似地，此时的数列 $\{ f \left( x_{n} \right) \}$ 也收敛，但对应的数列 $\{ x_{n} \}$ 同样并不收敛，所以 (A) 选 项 和 (B) 选 项 都 错 误 。

当然，由于按照上述操作，在数轴从左向右取值形成的数列 $\{ x_{n} \}$ 一定是一个单调数列，对应投影在函数 $f(x)$ 上的数列 $\{ f \left( x_{n} \right) \}$ 也是一个单调且收敛的数列，所以 (C) 选 项 是 正 确 的。

由于在数轴上选点组成数列 $\{ x_{n} \}$ 的时候并不一定需要按照从左向右的顺序。而且，只要我们在数轴上所选的点都落在一个固定的有限区间内，那么，这些点所构成的数列就是收敛的。

于是，如图 05 所示，如果我们将组成数列 $\{ x_{n} \}$ 的选点都限制在有界区间 $[\mathrm{A}, \mathrm{B}]$ 内，那么，数列 $\{ x_{n} \}$ 就是一个收敛数列：

但如果我们将图 05 中数列 $\{ x_{n} \}$ 的取值按照下标从小到大的顺序排列，所得到的数列 $\{ f(x_{1}) \}$, $\{ f(x_{2}) \}$, $\{ f(x_{3}) \}$ 就如图 06 所示：

可以很明显看到，图 06 中所示的数列 $\{ f(x_{1}) \}$, $\{ f(x_{2}) \}$, $\{ f(x_{3}) \}$ 并不是一个单调的数列。

所以，数列 $\{ x_{n} \}$ 收敛，并不意味着数列 $\{ f \left( x_{n} \right) \}$ 也收敛， 选 项 (D) 错 误 。

传统解法

在本解法中，我们通过反例来排除错误的选项。

反例 1: 取 $x_{n}$ $=$ $n$, $f(x)$ $=$ $\arctan x$.

可知，数列 $\{ x_{n} \}$ 单调，函数 $f(x)$ 在 $(- \infty , + \infty )$ 内单调有界。

但是，此时 $f \left( x_{n} \right)$ $=$ $\arctan n$, 即数列 $\{ f \left( x_{n} \right) \}$ $=$ $\{ \arctan n \}$ 是一个单调且收敛的数列，但数列 $\{ x_{n} \}$ 并不收敛，所以 选 项 (A) 和 选 项 (B) 都 错 误 。

反例 2: 取 $x_{n}$ $=$ $\frac{(-1)^{n}}{n}$, $f(x)$ $=$ $\begin{cases} – 1 , & x \leqslant 0 \\ 1 , & x > 0 \end{cases}$.

可知，数列 $\{ x_{n} \}$ 收敛，函数 $f(x)$ 在 $(- \infty , + \infty )$ 内单调有界。

但是，此时 $f \left( x_{n} \right)$ $=$ $\begin{cases} 1 , & n 为偶数 \\ – 1 , & n 为奇数 \end{cases}$, 即数列 $\{ f \left( x_{n} \right) \}$ 是一个发散数列，所以 选 项 (D) 错 误 。

于是可知，(C) 选 项 正 确 。

总结

虽然通过画图的方法解决本题看上去更加繁复，但如果可以熟练掌握该方法，在考试的时候则只需要绘制一个简单的草图，甚至不用绘图即可选出正确答案。并且，这种绘图解法并不是单独针对本题的，而是基于对数列和函数本质的理解所构建的一种形象化解法，可用于解决其他的类似问题，比传统的特例法具有更广的适用性。

---