作者： 荒原之梦

一、题目

已知：

$$
I =
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2 n+1}}\left(\int_{1}^{\frac{1}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\int_{1}^{\frac{3}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\cdots+\int_{1}^{\frac{2 n-1}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y\right)
$$

则 $I = ?$

难度评级：

一、题目

$$
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{1}{\cos \theta}} r^{2} \mathrm{~d} r+\int_{1}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=?
$$

难度评级：

一、题目

已知，$y=y(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可导，在 $\forall x \in(0,+\infty)$ 处的增量 $\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)$ 满 足 $\Delta y(1+\Delta y)=\frac{y \Delta x}{1+x}+\alpha$, 其中 $\alpha$ 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时是与 $\Delta x$ 等价的无穷小。又 $y(0)=1$, 则 $y(x)=?$

难度评级：

一、题目

已知，$y=y(x)$ 二阶可导，且 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(4-y) y^{\beta}$ $(\beta>0)$, 若 $y=y(x)$ 的一个拐点是 $\left(x_{0}\right.$, $3)$, 则 $\beta=?$

难度评级：

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}=2$, 则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程是什么？

难度评级：

一、题目

$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{2 x^{2}-1}}=?
$$

难度评级：

一、题目

已知，$I=\int_{1}^{+\infty}\left[\frac{2 x^{2}+b x+a}{x(2 x+a)}-1\right] \mathrm{d} x=1$, 则 $a=?$, $b=?$

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一、前言

区间再现的强大之处在于，可以在【不改变】原有积分的【积分区间】的基础上，实现对被积函数的变形转化——这实际上就是利用原有被积函数的对称性，实现了【平移】。

有些时候，当我们对一个定积分题目无从下手时，试试区间再现，可能会有意想不到的效果。

总的来说，就是当我们要求解 $I = \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x$ 时，通过变形将 $I$ 转换为 $\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{~d} x$ 的形式，这样一来就有：

$$
I = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} [ f(x) + g(x) ] \mathrm{~d} x
$$

一、题目

已知，通过点 $(1,0)$ 的曲线 $y=y(x)$ 上每一点 $(x, y)$ 处切线的斜率等于 $1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}$, 则此曲线的方程是多少？

难度评级：

一、题目

已知，$a>0$ 是常数，连续函数 $f(x)$ 满足 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=b$, $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}=f(x)$ $\quad (x \in[0,+\infty))$ 的解，则：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}(x)=?
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y^{\prime \prime}(x)=?
$$

难度评级：

一、题目

已知，$u$ $=$ $u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 其中，$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0$ 有二阶连续的偏导数，且满足：

$$\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\frac{1}{x} \frac{\partial u}{\partial x}+u=x^{2}+y^{2}$$

则 $u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)=?$

难度评级：

一、题目

已知，$y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+2 m y^{\prime}+n^{2} y=0$ 满足 $y(0)=a$ 与 $y^{\prime}(0)$ $=b$ 的特解，其中 $m>n>0$, 则 $\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=?$

难度评级：

一、题目

已知，$y_{1}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}$, $y_{2}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}$, $y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，请确定此微分方程的形式。

难度评级：

一、题目

已知，连续函数 $f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t$ $=$ $x+\sin x+\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{~d} t$, 则 $f(x)=?$

难度评级：