时光留下的伤痛或许是永恒的,随着时间的流失,被凝固的泪水并不会消失——
而是被不断地深埋,如同一个胆小的孩童,将自己藏进时光的涟漪——
再透过时隐时现的缝隙,小心地观察着世界的光亮——
面对那些五彩纷呈、欢心跳跃的泡沫,却始终无法伸出手去触摸——
不是因为害怕寒冷,而是害怕遇到渴望的温暖。
时光留下的伤痛或许是永恒的,随着时间的流失,被凝固的泪水并不会消失——
而是被不断地深埋,如同一个胆小的孩童,将自己藏进时光的涟漪——
再透过时隐时现的缝隙,小心地观察着世界的光亮——
面对那些五彩纷呈、欢心跳跃的泡沫,却始终无法伸出手去触摸——
不是因为害怕寒冷,而是害怕遇到渴望的温暖。
在本文中,「荒原之梦考研数学」将通过两种方法证明下面的对数次方公式(也称“对数指係公式”):
$$
\log_{\alpha^{n}} x^{m} = \frac{m}{n} \log_{\alpha} x
$$
生活并不简单,直面生活的苦难,在阴暗与潮湿中不放弃对阳光的追求,需要莫大的自我勇气。
生活中的人可能很柔弱,一个人的肩膀其实承担不了多大的重量,一滴泪水就可能压垮整个世界。
生活中的人也可以很坚强,只要目光锚定了希望的远方,风雨就会带来彩虹,泥泞就会成为沃土。
每个人都是孤独的征战者,征服属于自己的“九九八十一难”,绘就属于自己的壮阔篇章。
彼时彼刻,我们的肉体可能已经消亡,但我们的精神却可以耸立成笔直的大树,立地并顶天。
在本文中,「荒原之梦考研数学」将给出下面这个对数换底公式(也称“对数基变换公式”)的详细证明:
$$
\textcolor{pink}{ \log_{y} x } = \frac{\log_{\beta} x}{\log_{\beta} y}
$$
一棵树,就是要长大成材,枝繁叶茂,它不需要艳丽的花朵,也不要精致的身段;
人也是一样,人的生活态度同样类似。
花哨,通常意味着无用,只有用质朴和专注将事情做到极致,才能发挥出最大的作用。
在本文中,「荒原之梦考研数学」将使用传统方法和“峰式”画图的方法证明概率论中下面这个公式:
$$
\sum_{i=1}^{n} (\xi_{i} – \bar{\xi}) = \sum_{i=1}^{n} \xi_{i} – n \bar{\xi} = 0
$$
其中,$\bar{\xi}$ 为样本 $\left( \xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} \cdots, \xi_{n} \right)$ 的均值。
继续阅读“为什么样本值减去样本均值后求和等于零?”“概率”是用于构建宇宙的一个神奇工具,相比于各种物理和数学定理,“概率”是如此直接,又如此飘忽不定。
每一个人的生老病死既是偶然,又是必然——
在微观上,发生了就是 100%, 没有发生就是 0%, 一切看上去就是某种“必然”。
在宏观上,发生与否却存在时时在变化,永远也不能确定的“概率值”,既不是 100%, 也不是 0%, 一切又都笼罩在“偶然”的薄雾之中。
然而,当我们进一步将目光放大到整个宇宙,却发现,宇宙中存在几乎完美的常数,各种规律之间存在几乎无缝衔接的互动,“偶然”似乎再次消失。
所以,必然嵌套着偶然,偶然嵌套着必然,宏大的宇宙与微小的内核似乎都是克莱因瓶上的两点,是开始,亦是结束。
在另一篇文章中,「荒原之梦考研数学」通过图解的方式证明了全概率公式,在本文中,「荒原之梦考研数学」将使用传统的证明方法实现对全概率公式的证明:
$$
\begin{aligned}
P \left( A \right) & = \sum_{i=1}^{n} P \left( B_{i} \right) P \left( A \mid B_{i} \right) \\ \\
P \left( B \right) & = \sum_{i=1}^{n} P \left( A_{i} \right) P \left( B \mid A_{i} \right)
\end{aligned}
$$
人生少有的是顺风顺水。
人生更多的,是逆风而行。
也许——
风,会侵蚀你的面庞;
雨,会打湿你的衣衫。
也许——
湍急的河水会阻隔你的去路;
高耸的山峰会遮蔽你的目光。
但是,这就是一个更强大、更健壮的你,必须要经历的较量!
在本文中,「荒原之梦考研数学」将通过完善的逻辑推理,分别证明以下两个对数的“和”与“差”公式:
$$
\begin{aligned}
\log_{\alpha} M N & = \log_{\alpha} M + \log_{\alpha} N \\
\log_{\alpha} \frac{M}{N} & = \log_{\alpha} M – \log_{\alpha} N
\end{aligned}
$$
无论我们观测与否,世界就是世界。
然而,人类所能直接感知的世界,是被“封装”之后的世界,是一个更简单,更自动化的世界。
但是,在这片表面的光滑之下,暗藏着许多我们尚未探索到的秘境。
所以,如何结构世界,认识世界的运行逻辑,就成为了一项深邃而富有挑战的工作。
意大利物理学家、数学家和天文学家伽利略曾经说过:“给我空间、时间及对数,我就可以创造一个宇宙。”,同时,在我们学习数学或者使用数学的时候,也常常会遇到“对数”。
但是,取对数到底有什么用呢?在本文中,「荒原之梦考研数学」将为同学们揭开对数的“神秘”面纱。
对数的其中一个作用就是可以“压缩”数值,或者说,对数可以反应较大数字的“量级”。
例如,对于数字 $123456$ 和 $654321$ 是两个相差特别大的数字,如果要比较这样的数字的大小,或者将其绘制在坐标图上,都不是很好表示,但如果我们对其取对数,就可以在减少这样的差异,并且不改变原有的大小关系(因为对数函数是一个单调递增的函数,可以保留原有的相对大小关系):
$$
\log_{10}^{123456} \simeq 5.0915
$$
$$
\log_{10}^{654321} \simeq 5.8158
$$
在上面做数值压缩的过程中,我们使用的是底数为 $10$ 的“常用对数”,因为常用的数字就是十进制的,用底数为 $10$ 的对数可以很方便的显示出原有数字的量级(一个“量级”就是十进制的一个“位”,即千位、百位和十位等),例如:
$$
\log_{10}^{6 \times 10^{\textcolor{springgreen}{8}}} \simeq \textcolor{springgreen}{8}.7782
$$
$$
\log_{10}^{9 \times 10^{\textcolor{springgreen}{8}}} \simeq \textcolor{springgreen}{8}.9542
$$
$$
\log_{10}^{2 \times 10^{\textcolor{orangered}{9}}} \simeq \textcolor{orangered}{9}.3010
$$
当然,用其他底数也可以大致反映出不同十进制数字的相对大小,但不能反映出十进制数字原本的量级:
$$
\log_{\mathrm{e}}^{6 \times 10^{\textcolor{pink}{8}}} \simeq \textcolor{tan}{20}.2124
$$
$$
\log_{\mathrm{e}}^{9 \times 10^{\textcolor{pink}{8}}} \simeq \textcolor{tan}{20}.6179
$$
$$
\log_{\mathrm{e}}^{2 \times 10^{\textcolor{pink}{9}}} \simeq \textcolor{tan}{21}.4164
$$
Note
在实际应用中,至少下面的数值或者表示方法都使用了对数:
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⁕ 里氏地震震级(用于描述地震烈度)
⁕ 分贝(用于音量)
⁕ 奈培(用于电功率)
⁕ 音分、小二度、全音及纯八度等(用于音乐中的相对音高)
⁕ Logit(用于统计学的发生比)
⁕ 巴勒莫撞击危险指数(用于表示近地天体撞击地球的危险几率)
⁕ 对数时间线
⁕ 焦比(用于计算摄影中的曝光量)
⁕ 熵(用于热力学)
⁕ 信息(用于信息论)
⁕ 土壤的颗粒尺寸分布的曲线
⁕ 对数星图(用于表示星体之间的相对位置)
⁕ 能量密度(用于铀和化石燃料能量密度的比较)
⁕ pH 值(用于表示酸性)
⁕ 视星(用于表示恒星亮度)
⁕ 克伦宾尺度(用于地质学中表示粒径)
⁕ 吸光度(用于描述物体的透光性能)
此外,取对数的另一个作用就是将非线性的式子转换为线性的式子。
例如,当 $Z$ 为变量,$n$ 为常数的时候,”$Z^{n}$” 不是一个线性表达式,但是,对其取对数之后,就可以转变为线性表达式 “$n \log Z$”:
$$
\log Z^{n} = n \log Z
$$
同样的,当 $x$ 和 $y$ 为变量的时候,”$xy$” 不是一个线性表达式,但是对其取对数之后,就可以转变为线性表达式 “$\log x$ $+$ $\log y$”:
$$
\log (xy) = \log x + \log y
$$
线性表达式在计算上更加简单,在人工智能领域有着广泛且深入的应用。
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题!
“善良”往往意味着对资源的出让,这在大自然的“弱肉强食”丛林法则中,是不被允许的异类。
然而,正是人性的“善”,点缀着大自然的黑暗丛林,如同闪烁的繁星,弥足珍贵,熠熠生辉。
当矩阵的乘法和转置运算结合的时候,有如下运算律:
$$
\textcolor{yellow}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$
从上面这条定理出发,我们可以验证任意多个矩阵相乘时的转置运算律。例如,若令矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{C} \boldsymbol{D}$, 则:
$$
\begin{aligned}
& \ (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\Rightarrow & \ [\boldsymbol{A} (\boldsymbol{C} \boldsymbol{D})]^{\top} = (\boldsymbol{C} \boldsymbol{D})^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\Rightarrow & \ [\boldsymbol{A} \boldsymbol{C} \boldsymbol{D}]^{\top} = \boldsymbol{D}^{\top} \boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\end{aligned}
$$
在本文中,「荒原之梦考研数学」将使用原创的“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律。
继续阅读“用“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律”Note
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无论是美术、物理,还是数学;无论是蹒跚学步的孩童,还是遥望星辰的科学家——
勾画和认识世界,仿佛就是我们与生俱来的目标。
也许这是一种“宿命”,但也许,这是更伟大进程的前奏。