两种方法证明对数的“次方”/“指係”公式

一、前言 前言 - 荒原之梦

在本文中,「荒原之梦考研数学」将通过两种方法证明下面的对数次方公式(也称“对数指係公式”):

$$
\log_{\alpha^{n}} x^{m} = \frac{m}{n} \log_{\alpha} x
$$

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峰说峰语:坚强的人就是顶天立地的人

证明对数的“换底”/“基变换”公式

一、前言 前言 - 荒原之梦

在本文中,「荒原之梦考研数学」将给出下面这个对数换底公式(也称“对数基变换公式”)的详细证明:

$$
\textcolor{pink}{ \log_{y} x } = \frac{\log_{\beta} x}{\log_{\beta} y}
$$

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为什么样本值减去样本均值后求和等于零?

一、前言 前言 - 荒原之梦

在本文中,「荒原之梦考研数学」将使用传统方法和“峰式”画图的方法证明概率论中下面这个公式:

$$
\sum_{i=1}^{n} (\xi_{i} – \bar{\xi}) = \sum_{i=1}^{n} \xi_{i} – n \bar{\xi} = 0
$$

其中,$\bar{\xi}$ 为样本 $\left( \xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} \cdots, \xi_{n} \right)$ 的均值。

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基于条件概率详解全概率公式的证明

一、前言 前言 - 荒原之梦

在另一篇文章中,「荒原之梦考研数学」通过图解的方式证明了全概率公式,在本文中,「荒原之梦考研数学」将使用传统的证明方法实现对全概率公式的证明:

$$
\begin{aligned}
P \left( A \right) & = \sum_{i=1}^{n} P \left( B_{i} \right) P \left( A \mid B_{i} \right) \\ \\
P \left( B \right) & = \sum_{i=1}^{n} P \left( A_{i} \right) P \left( B \mid A_{i} \right)
\end{aligned}
$$

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对数“和差”公式的完整证明

一、前言 前言 - 荒原之梦

在本文中,「荒原之梦考研数学」将通过完善的逻辑推理,分别证明以下两个对数的“和”与“差”公式:

$$
\begin{aligned}
\log_{\alpha} M N & = \log_{\alpha} M + \log_{\alpha} N \\
\log_{\alpha} \frac{M}{N} & = \log_{\alpha} M – \log_{\alpha} N
\end{aligned}
$$

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取对数的作用:压缩数值、变非线性为线性

一、前言 前言 - 荒原之梦

取对数的作用:压缩数值、变非线性为线性 | 「荒原之梦考研数学」 | 图 01.
图 01. 朱诺号木星探测器携带物品之一:意大利太空署提供的伽利略铝质纪念牌(宽 2.8 英寸,高 2 英寸,重 6 克)。该纪念碑镌刻有伽利略的自画像,以及他于 1610 年发现木星卫星的亲笔记录字迹。来源:wikipedia.org

意大利物理学家、数学家和天文学家伽利略曾经说过:“给我空间、时间及对数,我就可以创造一个宇宙。”,同时,在我们学习数学或者使用数学的时候,也常常会遇到“对数”。

但是,取对数到底有什么用呢?在本文中,「荒原之梦考研数学」将为同学们揭开对数的“神秘”面纱。

正文

压缩数值

取对数的作用:压缩数值、变非线性为线性 | 「荒原之梦考研数学」 | 图 02.
图 02. 通过对数函数 $y = \ln x$, 可以将相距较大的两个数字 $A$ 和 $B$ 转换为相距较小的数字 $a$ 和 $b$, 并且,当 $A$ 和 $B$ 的值越大的时候,转换得到的 $a$ 和 $b$ 的值差距越小。

对数的其中一个作用就是可以“压缩”数值,或者说,对数可以反应较大数字的“量级”。

例如,对于数字 $123456$ 和 $654321$ 是两个相差特别大的数字,如果要比较这样的数字的大小,或者将其绘制在坐标图上,都不是很好表示,但如果我们对其取对数,就可以在减少这样的差异,并且不改变原有的大小关系(因为对数函数是一个单调递增的函数,可以保留原有的相对大小关系):

$$
\log_{10}^{123456} \simeq 5.0915
$$

$$
\log_{10}^{654321} \simeq 5.8158
$$

在上面做数值压缩的过程中,我们使用的是底数为 $10$ 的“常用对数”,因为常用的数字就是十进制的,用底数为 $10$ 的对数可以很方便的显示出原有数字的量级(一个“量级”就是十进制的一个“位”,即千位、百位和十位等),例如:

$$
\log_{10}^{6 \times 10^{\textcolor{springgreen}{8}}} \simeq \textcolor{springgreen}{8}.7782
$$

$$
\log_{10}^{9 \times 10^{\textcolor{springgreen}{8}}} \simeq \textcolor{springgreen}{8}.9542
$$

$$
\log_{10}^{2 \times 10^{\textcolor{orangered}{9}}} \simeq \textcolor{orangered}{9}.3010
$$

当然,用其他底数也可以大致反映出不同十进制数字的相对大小,但不能反映出十进制数字原本的量级:

$$
\log_{\mathrm{e}}^{6 \times 10^{\textcolor{pink}{8}}} \simeq \textcolor{tan}{20}.2124
$$

$$
\log_{\mathrm{e}}^{9 \times 10^{\textcolor{pink}{8}}} \simeq \textcolor{tan}{20}.6179
$$

$$
\log_{\mathrm{e}}^{2 \times 10^{\textcolor{pink}{9}}} \simeq \textcolor{tan}{21}.4164
$$

变非线性为线性

此外,取对数的另一个作用就是将非线性的式子转换为线性的式子。

例如,当 $Z$ 为变量,$n$ 为常数的时候,”$Z^{n}$” 不是一个线性表达式,但是,对其取对数之后,就可以转变为线性表达式 “$n \log Z$”:

$$
\log Z^{n} = n \log Z
$$

同样的,当 $x$ 和 $y$ 为变量的时候,”$xy$” 不是一个线性表达式,但是对其取对数之后,就可以转变为线性表达式 “$\log x$ $+$ $\log y$”:

$$
\log (xy) = \log x + \log y
$$

线性表达式在计算上更加简单,在人工智能领域有着广泛且深入的应用。


荒原之梦考研数学思维导图
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用“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律

一、前言 前言 - 荒原之梦

当矩阵的乘法和转置运算结合的时候,有如下运算律:

$$
\textcolor{yellow}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

从上面这条定理出发,我们可以验证任意多个矩阵相乘时的转置运算律。例如,若令矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{C} \boldsymbol{D}$, 则:

$$
\begin{aligned}
& \ (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\Rightarrow & \ [\boldsymbol{A} (\boldsymbol{C} \boldsymbol{D})]^{\top} = (\boldsymbol{C} \boldsymbol{D})^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\Rightarrow & \ [\boldsymbol{A} \boldsymbol{C} \boldsymbol{D}]^{\top} = \boldsymbol{D}^{\top} \boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top} \\
\end{aligned}
$$

在本文中,「荒原之梦考研数学」将使用原创的“峰式画线法”证明矩阵乘法的转置运算律。

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