作者： 荒原之梦

一、前言

我们知道，所谓周期函数就是满足下式的函数：

$$f(x+T)=f(x)$$

其中，常数 $T\ne 0$ 就是周期函数 $f(x)$ 的最小正周期。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将定义一种具有和周期函数类似性质的“波纹函数”——

由于水波函数和周期函数具有一定程度上相似的性质，所以，我们在做题的时候，可以借助对周期函数的研究思路和研究波纹函数。

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内连续，且 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{1–\cos x}$ $=$ $-16$, 则在点 $x=0$ 处 $f(x)$ ( )

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《高等数学中常见的2+5种”真未定式”和1+1种”假未定式”的解题思路图》这篇文章中，我们知道 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 是两种核心未定式。

既然是“未定式”，那么就存在“定”和“不定”两种状态：“定”就是存在极限，“不定”就是不存在极限。

在本文中，我们就主要讨论一下，当 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 存在极限的情况下，其分子和分母的正负性与式子极限的正负性之间关系的问题。

一、题目

$$I=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[\frac{x^{1+x}}{(1+x{)}^x}-\frac{x}{\mathrm{e}}]=?$$

一、前言

不同的数学式子之间相对而言的复杂度肯定是不相同的，但是，我们该如何衡量这里所说的“复杂度”呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」基于乘除法和加减法计算难度的不同，提出了一种衡量式子复杂度的新方式。

一、题目

若函数 $f(x)$ 具有任意阶导数，且 $f^{\prime }(x)$ $=$ $f^2(x)$, 则当 $n$ 为大于等于 $2$ 的正整数时，$f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)$ $=$ $?$

一、前言

在高等数学中，极限问题是一类非常重要的问题。而极限类问题又常常表现为一些 未 定 式 的形式。

但是，什么样的式子是“ 真 未 定 式 ”？什么样的式子是“ 假 未 定 式 ”？对于这些未定式我们又该使用什么样的方法进行转换呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过解题思路简图为同学们做一个详细的讲解。

一、前言

传统上，关于“尖点为什么不可导”，其实并不构成一个“问题”，因为，尖点就是依据其不可导性被定义的。

但是，在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于最基本的数学公理，从全新的“峰”式视角，为同学们解释为什么尖点一定是不可导点，从而让同学们对有关知识建立更加深刻和形象的理解。

一、前言

直观上来说，所谓“尖点”就是很“尖”的点。但是到底有多“尖”才能算尖点呢？

如果用传统的数学语言对尖点进行表述，那就是曲线上的动点在移动的时候，移动方向会瞬间发生改变的点，也就是导数的正负（切线的方向）突然发生改变的点。

例如，图 01 和图 02 中的点 $O(0,0)$ 都是尖点，在点 $O(0,0)$ 的左右两侧，导数的正负发生了改变：

但是，上述中传统的数学方法，很难用于在直观上判断什么点是尖点，什么点不是尖点。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过独创的“ 落 圆 法 ”，让同学们利用直观的 几 何 性 质 理解“ 尖 点 ”和“ 非 尖 点 ”的区别。

一、前言

在进行极限计算的时候，我们常常会遇到 $x=0$ 或者 $x\to 0$ 的情况。那么，在具体计算的时候，我们该如何区分等于零和趋于零在计算过程中的不同性质和作用呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于“峰式思维”为同学们介绍一种解决该问题的“不严谨”但很实用的方法。