逆矩阵归档 - 荒原之梦

分块矩阵求逆法：下三角形式（C010）

问题

已知，

A

B

和

C

是元素非全为零的方阵，

O

是元素全为零的方阵
则，根据可逆矩阵的性质，

{(\begin{array}{ll} A & O \\ C & B \end{array})}^{- 1}

=

?

选项

[A].

{(\begin{array}{ll} A & O \\ C & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} A^{- 1} & O \\ - B C^{- 1} A & B^{- 1} \end{array})

[B].

{(\begin{array}{ll} A & O \\ C & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} A^{- 1} & O \\ B^{- 1} C A^{- 1} & B^{- 1} \end{array})

[C].

{(\begin{array}{ll} A & O \\ C & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} A^{- 1} & O \\ - A^{- 1} C B^{- 1} & B^{- 1} \end{array})

[D].

{(\begin{array}{ll} A & O \\ C & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} A^{- 1} & O \\ - B^{- 1} C A^{- 1} & B^{- 1} \end{array})

答案

${(\begin{array}{ll} A & O \\ C & B \end{array})}^{- 1}$ $=$ $(\begin{array}{ll} A^{- 1} & O \\ - B^{- 1} C A^{- 1} & B^{- 1} \end{array})$

分块矩阵求逆法：上三角形式（C010）

问题

已知，

A

B

和

C

是元素非全为零的方阵，

O

是元素全为零的方阵
则，根据可逆矩阵的性质，

{(\begin{array}{ll} A & C \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

?

选项

[A].

{(\begin{array}{ll} A & C \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} A^{- 1} & - A C^{- 1} B \\ O & B^{- 1} \end{array})

[B].

{(\begin{array}{ll} A & C \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} A^{- 1} & A^{- 1} C B^{- 1} \\ O & B^{- 1} \end{array})

[C].

{(\begin{array}{ll} A & C \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} A & - A^{- 1} C B^{- 1} \\ O & B \end{array})

[D].

{(\begin{array}{ll} A & C \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} A^{- 1} & - A^{- 1} C B^{- 1} \\ O & B^{- 1} \end{array})

答案

${(\begin{array}{ll} A & C \\ O & B \end{array})}^{- 1}$ $=$ $(\begin{array}{ll} A^{- 1} & - A^{- 1} C B^{- 1} \\ O & B^{- 1} \end{array})$

分块矩阵求逆法：副对角线形式（C010）

问题

已知，

A

和

B

是元素非全为零的方阵，

O

是元素全为零的方阵
则，根据可逆矩阵的性质，

{(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array})}^{- 1}

=

?

选项

[A].

{(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{cc} O & B^{⊤} \\ A^{⊤} & O \end{array})

[B].

{(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{cc} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \end{array})

[C].

{(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{cc} B^{- 1} & O \\ O & A^{- 1} \end{array})

[D].

{(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{cc} O & A^{- 1} \\ B^{- 1} & O \end{array})

答案

${(\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array})}^{- 1}$ $=$ $(\begin{array}{cc} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \end{array})$

分块矩阵求逆法：主对角线形式（C010）

问题

已知，

A

和

B

是元素非全为零的方阵，

O

是元素全为零的方阵
则，根据可逆矩阵的性质，

{(\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

?

选项

[A].

{(\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} A^{- 1} & O \\ O & B^{- 1} \end{array})

[B].

{(\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} O & A^{- 1} \\ B^{- 1} & O \end{array})

[C].

{(\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} B^{- 1} & O \\ O & A^{- 1} \end{array})

[D].

{(\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array})}^{- 1}

=

(\begin{array}{ll} - A & O \\ O & - B \end{array})

答案

${(\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array})}^{- 1}$ $=$ $(\begin{array}{ll} A^{- 1} & O \\ O & B^{- 1} \end{array})$

用初等变换法求逆矩阵（C010）

问题

已知，

E

为单位矩阵，则根据可逆矩阵的性质，以下利用初等变换法求逆矩阵的方法表述中，正确的是哪个？

选项

[A].

(\begin{array}{ll} A & E \end{array})

\overset{初等行变换}{⟶}

(\begin{array}{ll} A^{- 1} & E \end{array})

[B].

(\begin{array}{ll} A & E \end{array})

\overset{初等行变换}{⟶}

(\begin{array}{ll} E & - A^{- 1} \end{array})

[C].

(\begin{array}{ll} A & E \end{array})

\overset{初等列变换}{⟶}

(\begin{array}{ll} E & A^{- 1} \end{array})

[D].

(\begin{array}{ll} A & E \end{array})

\overset{初等行变换}{⟶}

(\begin{array}{ll} E & A^{- 1} \end{array})

答案

$(\begin{array}{ll} A & E \end{array})$ $\overset{初等 [行] 变换}{⟶}$ $(\begin{array}{ll} E & A^{- 1} \end{array})$

继续阅读

用伴随矩阵法求逆矩阵（C010）

问题

已知

A^{*}

为矩阵

A

的伴随矩阵，则根据可逆矩阵的性质，

A^{- 1}

=

?

选项

[A].

A^{- 1}

=

\frac{1}{| A^{*} |}

A

[B].

A^{- 1}

=

\frac{1}{| A |}

A^{*}

[C].

A^{- 1}

=

\frac{- 1}{| A |}

A^{*}

[D].

A^{- 1}

=

| A |

A^{*}

答案

$A^{- 1}$ $=$ $\frac{1}{| A |}$ $A^{*}$

用定义法求逆矩阵（C010）

问题

已知，

E

为单位矩阵，则根据可逆矩阵的性质，若

A B

=

E

, 则矩阵

A

的逆矩阵

A^{- 1}

=

?

选项

[A].

A^{- 1}

=

B

[B].

A^{- 1}

=

B B^{- 1}

[C].

A^{- 1}

=

- B

[D].

A^{- 1}

=

B^{- 1}

答案

$A^{- 1}$ $=$ $B$

$(A + B)^{- 1}$ 是否等于 $A^{- 1}$ $+$ $B^{- 1}$ ？（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，一般情况下，

(A + B)^{- 1}

是否等于

A^{- 1}

+

B^{- 1}

?

选项

[A].

(A + B)^{- 1}

=

A^{- 1}

+

B^{- 1}

[B].

(A + B)^{- 1}

\neq

A^{- 1}

+

B^{- 1}

答案

$(A + B)^{- 1}$ $\neq$ $A^{- 1}$ $+$ $B^{- 1}$

$| A^{- 1} |$ 等于什么？（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，

| A^{- 1} |

=

?

选项

[A].

| A^{- 1} |

=

\frac{1}{| A |}

[B].

| A^{- 1} |

=

\frac{1}{| A^{- 1} |}

[C].

| A^{- 1} |

=

| A |

[D].

| A^{- 1} |

=

\frac{- 1}{| A |}

答案

$| A^{- 1} |$ $=$ $\frac{1}{| A |}$

${(A^{⊤})}^{- 1}$ 等于什么？（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，

{(A^{⊤})}^{- 1}

=

?

选项

[A].

{(A^{⊤})}^{- 1}

=

{(A^{- 1})}^{- 1}

[B].

{(A^{⊤})}^{- 1}

=

{(A^{- 1})}^{⊤}

[C].

{(A^{⊤})}^{- 1}

=

{(A)}^{⊤}

[D].

{(A^{⊤})}^{- 1}

=

{(A^{⊤})}^{⊤}

答案

${(A^{⊤})}^{- 1}$ $=$ ${(A^{- 1})}^{⊤}$

若 $A$ , 则 $A^{T}$ 是否可逆（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，若矩阵

A

可逆，则矩阵

A

的转置矩阵

A^{T}

是否可逆？

选项

[A]. 是

[B]. 否

答案

是
若 $A$ 可逆，则 $A^{T}$ 也可逆

$(A B)^{- 1}$ 等于什么？（C010）

问题

已知，矩阵

A

和

B

均可逆，矩阵

A B

也可逆，则根据可逆矩阵的性质，

(A B)^{- 1}

=

?

选项

[A].

(A B)^{- 1}

=

B^{- 1}

A^{- 1}

[B].

(A B)^{- 1}

=

(B A)^{- 1}

[C].

(A B)^{- 1}

=

-

B

A

[D].

(A B)^{- 1}

=

A^{- 1}

B^{- 1}

答案

$(A B)^{- 1}$ $=$ $B^{- 1}$ $A^{- 1}$

若 $A$ , $B$ 可逆，则 $A B$ 是否可逆？（C010）

问题

根据可逆矩阵的性质，若矩阵

A

和

B

均可逆，则矩阵

A B

是否可逆？

选项

[A]. 否

[B]. 是

答案

是
若 $A$ , $B$ 可逆，则 $A B$ 也可逆

$A^{- 1}$ 与 $(k A)^{- 1}$ 的关系（C010）

问题

已知

k

为常数，且

k

\neq

0

, 则根据可逆矩阵的性质，

A^{- 1}

与

(k A)^{- 1}

之间有着怎样的关系？

选项

[A].

(k A)^{- 1}

=

\frac{1}{k}

A^{- 1}

[B].

(k A)^{- 1}

=

\frac{- 1}{k}

A^{- 1}

[C].

(k A)^{- 1}

=

A^{- 1}

[D].

(k A)^{- 1}

=

k

A^{- 1}

答案

$(k A)^{- 1}$ $=$ $\frac{1}{k}$ $A^{- 1}$

若 $A$ 可逆，则 $k A$ 是否可逆？（C010）

问题

已知

k

为常数且

k

\neq

0

, 则根据可逆矩阵的性质，若

A

可逆，则

k A

是否可逆？

选项

[A]. 否

[B]. 是

答案

是
若 $A$ 可逆，则 $k A$ 也可逆