高等数学练习题 – 第 11 页

一、题目

微分方程 $y \mathrm {~d} x + \left( x^{2} – 3x \right) \mathrm{~d} y = 0$ 的通解为？

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一、题目

若 $y=y(x)$ 为二阶常系数微分方程 $\frac{1}{2} y^{\prime \prime} + p y^{\prime} + q y$ $=$ $\mathrm{e}^{16x}$, 且满足初始条件 $y(0)$ $=$ $y^{\prime} (0)$ $=$ $0$ 的特解，则：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x^{2})}{y(x)} = ?
$$

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一、题目

已知，函数 $f(x)$ $=$ $\ln x + \frac{1}{x}$.

(Ⅰ) 求 $f(x)$ 的最小值;

(Ⅱ) 设数列 ${ x_{n} }$ 满足条件 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}} < 1$, 请证明 $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$ 存在, 并求该极限值.

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一、题目

已知，数列 ${ x_{n} }$ 满足: $x_{1} > 0$, $x_{n}\mathrm{e}^{x_{n+1}}$ $=$ $\mathrm{e}^{x_{n}}-1$, 其中 $n$ $=$ $1, 2, 3, \cdots$.

请证明数列 ${ x_{n} }$ 收敛，并求解 $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$.

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一、题目

已知 $y = \frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y ^{\prime} = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ 的唯一解，则函数 $\phi \left(\frac{x}{y}\right)$ 的显式表达式为 $\underline{\quad \quad \quad}$.

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一、题目

已知函数 $f \left( u, v \right)$ 满足 $f \left( x + y, \frac{y}{x} \right) = x^{2} – y^{2}$，则：

$$
\begin{aligned}
& \left. \frac{\partial f}{\partial u} \right|_{\substack{u=1 \\ v=1}} = ? \\ \\
& \left. \frac{\partial f}{\partial v} \right|_{\substack{u=1 \\ v=1}} = ?
\end{aligned}
$$

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极限运算中的高阶无穷小 $o(x^{n})$ 该怎么参与运算？

一、题目

$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1 – x-\frac{x}{2} \sin x}{\sin x – x \cos x}
$$

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一、题目

如图 01 所示，$X$ 轴上有一个线密度为常数 $\mu$, 长度为 $l$ 的细杆 $\bar{L}$，若质量为 $m$ 的质点 $\dot{M}$ 到细杆右端的距离为 $a$, 且引力系数为 $k$, 则质点 $\dot{M}$ 和细杆 $\bar{L}$ 之间引力的大小 $F$ 可表示为什么？

计算质点和非质点之间引力的方法：微元法 | 荒原之梦考研数学 | 图 01. — 图 01.

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一、题目

请用定积分表示曲线 $y$ $=$ $x(x – 1)(2 – x)$ 与平面直角坐标系 $X$ 轴所围图形的面积 $S$

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一、题目

判断下面反常积分的敛散性：

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \int_{− \infty}^{0} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x \\ \\
I_{2} & = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm {e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

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峰式田字格：确定变量含有绝对值的分段函数的复合运算要分几段计算

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《田字格分段函数融合法》这篇文章中，我们初步掌握了基于“田字格”这一工具确定涉及分段函数的计算时应该分几段考虑的问题。

在本文中，我将继续拓展“田字格”这一工具，在自变量含有绝对值运算的题目中，给同学们讲解一下如何使用“田字格”确定应该分几段计算含有分段函数的相关问题。

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用定积分的定义计算数列和时怎么确定积分上下限？

一、题目

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{2} \left(1 + \frac{2}{n} \right)^{2} \cdots \left(1 + \frac{n}{n} \right)^{2}} \\ \\
I_{2} & = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{2} \left(1 + \frac{2}{n} \right)^{2} \cdots \left(1 + \frac{n}{n} \right)^{2} \cdots \textcolor{orange}{ \left(1 + \frac{2n}{n} \right)^{2} } } \\ \\
\end{aligned}
$$

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