在求解过程中被“隐”去的量，其实是不需要求解的

一、题目

若 $y=y(x)$ 为二阶常系数微分方程 $\frac{1}{2} y^{\prime \prime} + p y^{\prime} + q y$ $=$ $\mathrm{e}^{16x}$, 且满足初始条件 $y(0)$ $=$ $y^{\prime} (0)$ $=$ $0$ 的特解，则：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x^{2})}{y(x)} = ?
$$

二、解析

根据本题的题意，要求解 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x^{2})}{y(x)}$ 的值，就需要知道 $y(x)$ 的表达式，也就是求解微分方程 $\frac{1}{2} y^{\prime \prime} + p y^{\prime} + q y$ $=$ $\mathrm{e}^{16x}$ 的解，思路如图 01 所示：

但是，根据洛必达法则，有：

$$
\textcolor{orange}{
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x^{2})}{y(x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{y(x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2x}{y ^{\prime} (x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2}{y ^{\prime \prime} (x)}
} \tag{1}
$$

此时我们的思路如图 02 所示：

于是可知，如果极限 $\lim_{x \rightarrow 0} y ^{\prime \prime} (x)$ 存在，且函数 $y ^{\prime \prime} (x)$ 在点 $x = 0$ 处连续，即下式成立：

$$
\textcolor{yellow}{
y ^{\prime \prime} (0) = \lim_{x \rightarrow 0} y ^{\prime \prime} (x) } \tag{2}
$$

那么，我们实际上只需要知道 $\lim_{x \rightarrow 0} y ^{\prime \prime} (x)$ 的值即可，完全不需要对微分方程进行正式的求解，如图 03 所示：

于是，将 $y(0)$ $=$ $y ^{\prime} (0)$ $=$ $0$ 代入方程 $\frac{1}{2} y ^{\prime \prime} + py ^{\prime} + qy = \mathrm{e}^{16x}$ 中，得：

$$
\textcolor{yellow}{
y ^{\prime \prime} (0) = 2
} \tag{3}
$$

又因为 $\mathrm{e}^{16 x}$ 在点 $x = 0$ 处是一个连续函数，根据《为什么二阶微分方程中解的二阶导函数的连续性只取决于右端项的连续性？》这篇文章可知，$y ^{\prime \prime} (x)$ 在点 $x = 0$ 处也连续，即：

$$
\textcolor{yellow}{
\lim_{x \rightarrow 0} y ^{\prime \prime} (x) = y ^{\prime \prime} (0) = 2
} \tag{4}
$$

于是，由 $(1)$ 式和 $(4)$ 式，可得：

$$
\textcolor{lightgreen}{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1 + x^{2})}{y(x)}} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{2}{y ^{\prime \prime} (x)} = \frac{2}{y ^{\prime \prime} (0)} = \textcolor{lightgreen}{1}
$$

---