高等数学基础归档 - 第22页共54页

问题

已知 $H$ 为积分路径 $L$ 这条曲线的弧长，那么，当被积函数为 $1$ 时，第一类曲线积分 $\int_{L}$ $1$ $\mathrm{d} s$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{L}$ $1$ $\mathrm{d} s$ $=$ $0$

[B]. $\int_{L}$ $1$ $\mathrm{d} s$ $=$ $1$

[C]. $\int_{L}$ $1$ $\mathrm{d} s$ $=$ $H$

[D]. $\int_{L}$ $1$ $\mathrm{d} s$ $=$ $H^{\frac{2}{3}}$

答案

$\int_{L}$ $1$ $\mathrm{d} s$ $=$ $H$

问题

已知在积分路径 $L$ 上，有函数 $f(x, y)$, 则，根据带有绝对值情况下的第一类曲线积分的比较定理，以下选项正确的是哪个？

选项

[A]. $\big|$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\big|$ $>$ $\int_{L}$ $|$ $f(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} s$

[B]. $\big|$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\big|$ $<$ $\int_{L}$ $|$ $f(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} s$

[C]. $\big|$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\big|$ $\geqslant$ $\int_{L}$ $|$ $f(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} s$

[D]. $\big|$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\big|$ $\leqslant$ $\int_{L}$ $|$ $f(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} s$

答案

$\big|$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\big|$ $\leqslant$ $\int_{L}$ $|$ $f(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} s$

第一类曲线积分的比较定理（不带绝对值）（B016）

问题

已知在积分路径 $L$ 上，有 $f(x, y)$ $\leqslant$ $g(x, y)$, 则，根据第一类曲线积分的比较定理，以下选项正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $<$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$

[B]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\geqslant$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$

[C]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\leqslant$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$

[D]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $>$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$

答案

$\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\leqslant$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$

第一类曲线积分中常数的运算性质（B016）

问题

已知 $\alpha$ 和 $\beta$ 为常数，则，根据第一类曲线积分中常数的运算性质，以下选项中正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $f(x, y)$ $\pm$ $\beta$ $g(x, y)$ $\big]$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{\alpha}$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\pm$ $\frac{1}{\beta}$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$

[B]. $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $f(x, y)$ $\pm$ $\beta$ $g(x, y)$ $\big]$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\times$ $\beta$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$

[C]. $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $f(x, y)$ $\pm$ $\beta$ $g(x, y)$ $\big]$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\mp$ $\beta$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$

答案

$\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $f(x, y)$ $\pm$ $\beta$ $g(x, y)$ $\big]$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\pm$ $\beta$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$~$\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $f(x, y)$ $\pm$ $\beta$ $g(x, y)$ $\big]$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\pm$ $\beta$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$

第一类曲线积分中积分路径的可加性（B016）

问题

已知积分路径 $L$ $=$ $L_{1}$ $+$ $L_{2}$, 则根据第一类曲线积分中积分路径的可加性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{L_{1}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $+$ $\int_{L_{2}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$

[B]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\frac{L_{1}}{2}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $+$ $\int_{\frac{L_{2}}{2}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$

[C]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{L – L_{1}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $+$ $\int_{L – L_{2}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$

[D]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{L_{1}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $-$ $\int_{L_{2}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$

答案

$\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{L_{1}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $+$ $\int_{L_{2}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$

积分区域关于平面 $z$ $=$ $y$ 对称时的轮换对称性（B015）

问题

若积分区域 $\Omega$ 关于平面 $z$ $=$ $y$ 对称，则根据三重积分的轮换对称性，$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $?$

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $-$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, z, y)$ $\mathrm{d} V$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, z, y)$ $\mathrm{d} V$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(z, y, x)$ $\mathrm{d} V$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, -z, -y)$ $\mathrm{d} V$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, z, y)$ $\mathrm{d} V$

积分区域关于平面 $x$ $=$ $z$ 对称时的轮换对称性（B015）

问题

若积分区域 $\Omega$ 关于平面 $x$ $=$ $z$ 对称，则根据三重积分的轮换对称性，$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $?$

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(z, y, x)$ $\mathrm{d} V$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, z, y)$ $\mathrm{d} V$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(-z, y, -x)$ $\mathrm{d} V$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $-$ $\iiint_{\Omega}$ $f(z, y, x)$ $\mathrm{d} V$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(z, y, x)$ $\mathrm{d} V$

积分区域关于平面 $y$ $=$ $x$ 对称时的轮换对称性（B015）

问题

若积分区域 $\Omega$ 关于平面 $y$ $=$ $x$ 对称，则根据三重积分的轮换对称性，$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $?$

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(-y, -x, z)$ $\mathrm{d} V$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $-$ $\iiint_{\Omega}$ $f(y, x, z)$ $\mathrm{d} V$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(y, x, z)$ $\mathrm{d} V$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, z, y)$ $\mathrm{d} V$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(y, x, z)$ $\mathrm{d} V$

关于 $zOx$ 面对称的三重积分的化简（B015）

问题

若积分区域 $\Omega_{1}$ 是位于积分区域 $\Omega$ 在 $z O x$ 平面上方的部分，且积分区域 $\Omega$ 关于 $z O x$ 平面对称，则以下关于三重积分 $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ 的化简，正确的是哪个选项？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, -y, z)=-f(x, y, z), \\ \frac{1}{2} \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, -y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 1, \quad f(x, -y, z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, -y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, -y, z)= f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, -y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, -y, z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, -y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, -y, z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, -y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

$f(x, -y, z)$ $=$ $-$ $f(x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $\Omega$ 上关于 $y$ 为奇函数.
$f(x, -y, z)$ $=$ $f(x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $\Omega$ 上关于 $y$ 为偶函数.

关于 $yOz$ 面对称的三重积分的化简（B015）

问题

若积分区域 $\Omega_{1}$ 是位于积分区域 $\Omega$ 在 $y O z$ 平面上方的部分，且积分区域 $\Omega$ 关于 $y O z$ 平面对称，则以下关于三重积分 $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ 的化简，正确的是哪个选项？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(-x, y, z)=-f(x, y, z), \\ \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(-x, y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 1, \quad f(-x, y, z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(-x, y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(-x, y, z)=f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(-x, y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(-x, y, z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(-x, y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(-x, y, z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(-x, y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

$f(-x, y, z)$ $=$ $-$ $f(x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $\Omega$ 上关于 $x$ 为奇函数.
$f(-x, y, z)$ $=$ $f(x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $\Omega$ 上关于 $x$ 为偶函数.

关于 $xOy$ 面对称的三重积分的化简（B015）

问题

若积分区域 $\Omega_{1}$ 是位于积分区域 $\Omega$ 在 $x O y$ 平面上方的部分，且积分区域 $\Omega$ 关于 $x O y$ 平面对称，则以下关于三重积分 $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ 的化简，正确的是哪个选项？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, y,-z)=-f(x, y, z), \\ \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, y,-z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, y,z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, y,-z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, y,-z)=f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, y,-z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, y,-z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, y,-z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, y,-z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, y,-z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

$f(x, y,-z)$ $=$ $-$ $f(x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $\Omega$ 上关于 $z$ 为奇函数.
$f(x, y,-z)$ $=$ $f(x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $\Omega$ 上关于 $z$ 为偶函数.

三重积分的中值定理（B014）

问题

已知函数 $f(x, y, z)$ 在闭合积分区域 $\Omega$ 上连续，$V$ 为积分区域 $\Omega$ 的体积，则，根据三重积分的中值定理，在区域 $\Omega$ 上至少存在一点 $(\xi, \eta, \zeta)$, 使得下列哪项成立？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $f[(\xi+V), (\eta+V), (\zeta+V)]$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $f(\xi, \eta, \zeta)$ $\cdot$ $\frac{1}{V}$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $f(\xi, \eta, \zeta)$ $+$ $V$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $f(\xi, \eta, \zeta)$ $\cdot$ $V$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $f(\xi, \eta, \zeta)$ $\cdot$ $V$

三重积分的比较定理（B014）

问题

若在积分区域 $\Omega$ 上恒有 $f(x, y, z)$ $\leqslant$ $g(x, y, z)$, 则根据三重积分的比较定理，以下哪个选项是正确的？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $>$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $<$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\geqslant$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\leqslant$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\leqslant$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

三重积分中被积函数为 $1$ 时的性质（B014）

问题

已知积分区域 $\Omega$ 的体积为 $V$, 则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $1$ $\mathrm{d} v$ $=$ $V^{3}$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $1$ $\mathrm{d} v$ $=$ $V$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $1$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\frac{1}{V}$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $1$ $\mathrm{d} v$ $=$ $1$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $1$ $\mathrm{d} v$ $=$ $V$

三重积分的积分区域可加的性质（B015）

问题

已知有积分区域 $\Omega_{1}$, $\Omega_{2}$ 和 $\Omega$, 且 $\Omega_{1}$ $\cup$ $\Omega_{2}$ $=$ $\Omega$, $\Omega_{1}$ $\cap$ $\Omega_{2}$ 不能形成空间闭区域（即 $\Omega_{1}$ 和 $\Omega_{2}$ 相交但不重叠）。

则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\times$ $\iiint_{\Omega_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\iiint_{\Omega_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\iiint_{\Omega_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $-$ $\iiint_{\Omega_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $+$ $\iiint_{\Omega_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $+$ $\iiint_{\Omega_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$