高等数学基础归档 - 第23页共50页

双叶双曲面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [双叶双曲面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $1$

[B]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $-1$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $0$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{a^{2}}{c^{2}}$ $=$ $-1$

答案

$\frac{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{a}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\frac{\textcolor{orange}{y}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{b}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{-}$ $\frac{\textcolor{orange}{z}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{c}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $=$ $\textcolor{red}{-1}$

单叶双曲面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [单叶双曲面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $+$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $1$

[B]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $0$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $1$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $1$

答案

双曲抛物面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [双曲抛物面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $z$ $=$ $0$

[B]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $z$ $=$ $0$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $+$ $z$ $=$ $0$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $z$ $=$ $1$

答案

$\frac{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{a}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{-}$ $\frac{\textcolor{orange}{y}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{b}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{-}$ $\textcolor{orange}{z}$ $=$ $\textcolor{red}{0}$

椭圆抛物面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [椭圆抛物面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $z$ $=$ $1$

[B]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $z$ $=$ $0$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $-$ $z$ $=$ $0$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $+$ $z$ $=$ $0$

答案

椭球面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [椭球面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $+$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $0$

[B]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $+$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $1$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{z^{2}}{a^{2}}$ $=$ $1$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^{2}}{c^{2}}$ $=$ $1$

答案

$\frac{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{a}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\frac{\textcolor{orange}{y}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{b}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\frac{\textcolor{orange}{z}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{c}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $=$ $\textcolor{red}{1}$

双曲柱面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [双曲柱面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $=$ $1$

[B]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $=$ $1$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $=$ $0$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $=$ $1$

答案

抛物柱面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [抛物柱面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $x^{2}$ $+$ $2 a y^{2}$ $=$ $0$

[B]. $x^{2}$ $-$ $2 a y$ $=$ $0$

[C]. $x^{2}$ $+$ $2 a y$ $=$ $1$

[D]. $x^{2}$ $+$ $2 a y$ $=$ $0$

答案

$\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{yellow}{2}}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\textcolor{yellow}{2} \textcolor{cyan}{a} \textcolor{orange}{y}$ $=$ $\textcolor{red}{0}$

椭圆柱面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [椭圆柱面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{a}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b}$ $=$ $1$

[B]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $=$ $0$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $=$ $1$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $=$ $1$

答案

椭圆锥面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [椭圆锥面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{c^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^2}{a^2}$ $=$ $0$

[B]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $+$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $0$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $1$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $0$

答案

$\frac{\textcolor{orange}{x}^{2}}{\textcolor{cyan}{a}^{2}}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\frac{\textcolor{orange}{y}^{2}}{\textcolor{cyan}{b}^{2}}$ $\textcolor{yellow}{-}$ $\frac{\textcolor{orange}{z}^2}{\textcolor{cyan}{c}^2}$ $=$ $\textcolor{red}{0}$

$xOy$ 平面上的曲线绕 $y$ 轴旋转所形成的旋转曲面的方程（B010）

问题

若 $L$ 是平面 $\textcolor{orange}{xOy}$ 上的一条曲线，且该曲线的方程为 $\left\{\begin{array}{l} f(x, y)=0 \\ z=0 \end{array}\right.$.

那么，曲线 $L$ 绕 $\textcolor{orange}{y}$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是什么？

选项

[A]. $f(x^{2} + z^{2} ,y)$ $=$ $0$

[B]. $f(\sqrt{x^{2} + y^{2}} ,z)$ $=$ $0$

[C]. $f(\sqrt{x^{2} + z^{2}} ,y)$ $=$ $1$

[D]. $f(\sqrt{x^{2} + z^{2}} ,y)$ $=$ $0$

答案

$f(\textcolor{yellow}{\pm} \sqrt{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{cyan}{2}} + \textcolor{orange}{z}^{\textcolor{cyan}{2}}}, \textcolor{orange}{y} )$ $=$ $0$

在应用时，用 $\textcolor{orange}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\sqrt{x^{2} + z^{2}}}$ 去代替曲线方程 $f(\textcolor{orange}{x}, y)$ $=$ $0$ 中的 $\textcolor{orange}{x}$ 即可.

旋转曲面的面积公式：

$xOy$ 平面上的曲线绕 $x$ 轴旋转所形成的旋转曲面的方程（B010）

问题

若 $L$ 是平面 $\textcolor{orange}{xOy}$ 上的一条曲线，且该曲线的方程为 $\left\{\begin{array}{l} f(x, y)=0 \\ z=0 \end{array}\right.$.

那么，曲线 $L$ 绕 $\textcolor{orange}{x}$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是什么？

选项

[A]. $f(x, \pm \sqrt{y^{2} + z^{2}})$ $=$ $0$

[B]. $f(x, \pm \sqrt{y + z})$ $=$ $0$

[C]. $f(\pm \sqrt{y^{2} + z^{2}}, y)$ $=$ $0$

[D]. $f(x, \pm \sqrt{y^{2} + z^{2}})$ $=$ $1$

答案

$f(\textcolor{orange}{x}, \textcolor{yellow}{\pm} \sqrt{\textcolor{orange}{y}^{\textcolor{cyan}{2}} + \textcolor{orange}{z}^{\textcolor{cyan}{2}}})$ $=$ $0$

在应用时，用 $\textcolor{orange}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\sqrt{y^{2} + z^{2}}}$ 去代替曲线方程 $f(x, \textcolor{orange}{y})$ $=$ $0$ 中的 $\textcolor{orange}{y}$ 即可.

旋转曲面的面积公式：

$zOy$ 平面上的曲线绕 $z$ 轴旋转所形成的旋转曲面的方程（B010）

问题

若 $L$ 是平面 $\textcolor{orange}{zOy}$ 上的一条曲线，且该曲线的方程为 $\left\{\begin{array}{l} f(y, z)=0 \\ x=0 \end{array}\right.$.

那么，曲线 $L$ 绕 $\textcolor{orange}{z}$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是什么？

选项

[A]. $f(\pm \sqrt{x^{2} + y^{2}}, z)$ $=$ $1$

[B]. $f(\pm \sqrt{x^{2} + y^{2}}, z)$ $=$ $0$

[C]. $f(x, \pm \sqrt{y^{2} + z^{2}})$ $=$ $0$

[D]. $f(\pm \sqrt{x + y}, z)$ $=$ $0$

答案

$f(\textcolor{yellow}{\pm} \sqrt{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{cyan}{2}} + \textcolor{orange}{y}^{\textcolor{cyan}{2}}}, \textcolor{orange}{z})$ $=$ $0$

在应用时，用 $\textcolor{orange}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 去代替曲线方程 $f(\textcolor{orange}{y}, z)$ $=$ $0$ 中的 $\textcolor{orange}{y}$ 即可.

旋转曲面的面积公式：

$zOy$ 平面上的曲线绕 $y$ 轴旋转所形成的旋转曲面的方程（B010）

问题

若 $L$ 是平面 $\textcolor{orange}{zOy}$ 上的一条曲线，且该曲线的方程为 $\left\{\begin{array}{l} f(y, z)=0 \\ x=0 \end{array}\right.$.

那么，曲线 $L$ 绕 $\textcolor{orange}{y}$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是什么？

选项

[A]. $f(y, \pm \sqrt{x + z})$ $=$ $0$

[B]. $f(z, \pm \sqrt{x^{2} + y^{2}})$ $=$ $0$

[C]. $f(y, \pm \sqrt{y^{2} + z^{2}})$ $=$ $0$

[D]. $f(y, \pm \sqrt{x^{2} + z^{2}})$ $=$ $1$

答案

$f(\textcolor{orange}{y}, \textcolor{yellow}{\pm} \sqrt{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{cyan}{2}} + \textcolor{orange}{z}^{\textcolor{cyan}{2}}})$ $=$ $0$

在应用时，用 $\textcolor{orange}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\sqrt{x^{2} + z^{2}}}$ 去代替曲线方程 $f(y, \textcolor{orange}{z})$ $=$ $0$ 中的 $\textcolor{orange}{z}$ 即可.

旋转曲面的面积公式：

$zOx$ 平面上的曲线绕 $z$ 轴旋转所形成的旋转曲面的方程（B010）

问题

若 $L$ 是平面 $\textcolor{orange}{zOx}$ 上的一条曲线，且该曲线的方程为 $\left\{\begin{array}{l} f(x, z)=0 \\ y=0 \end{array}\right.$.

那么，曲线 $L$ 绕 $\textcolor{orange}{z}$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是什么？

选项

[A]. $f\left(\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}, z \right)$ $=$ $0$

[B]. $f\left(z, \pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ $=$ $0$

[C]. $f\left(\pm \sqrt{x+y}, z \right)$ $=$ $0$

[D]. $f\left(\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}, z \right)$ $=$ $1$

答案

$f\left(\textcolor{yellow}{\pm} \sqrt{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{red}{2}}+\textcolor{orange}{y}^{\textcolor{red}{2}}}, \textcolor{orange}{z} \right)$ $=$ $0$

在应用时，用 $\textcolor{orange}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 去代替曲线方程 $f(\textcolor{orange}{x}, z)$ $=$ $0$ 中的 $\textcolor{orange}{x}$ 即可.

旋转曲面的面积公式：

$zOx$ 平面上的曲线绕 $x$ 轴旋转所形成的旋转曲面的方程（B010）

问题

若 $L$ 是平面 $\textcolor{orange}{zOx}$ 上的一条曲线，且该曲线的方程为 $\left\{\begin{array}{l} f(x, z)=0 \\ y=0 \end{array}\right.$.

那么，曲线 $L$ 绕 $\textcolor{orange}{x}$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是什么？

选项

[A]. $f\left(x, \pm \sqrt{y+z}\right)$ $=$ $0$

[B]. $f\left(x, + \sqrt{y^{2}+z^{2}}\right)$ $=$ $0$

[C]. $f\left(x, \pm \sqrt{y^{2}+z^{2}}\right)$ $=$ $1$

[D]. $f\left(x, \pm \sqrt{y^{2}+z^{2}}\right)$ $=$ $0$

答案

$f\left(\textcolor{orange}{x}, \textcolor{yellow}{\pm} \sqrt{\textcolor{orange}{y}^{\textcolor{cyan}{2}}+\textcolor{orange}{z}^{\textcolor{cyan}{2}}}\right)$ $=$ $0$

在应用时，用 $\textcolor{orange}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\sqrt{y^{2} + z^{2}}}$ 去代替曲线方程 $f(x, \textcolor{orange}{z})$ $=$ $0$ 中的 $\textcolor{orange}{z}$ 即可.