标签： 高等数学基础

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助积分的平滑性来证明“可导必连续”这一结论，有关该结论的另一种证明方式，可以查阅《关于可导必连续的一个传统方式证明》这篇文章。

继续阅读“关于可导必连续的一个基于积分平滑性的证明”

一、前言

所谓“可导必连续”说的是，如果一个函数 $f(x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处的导数 $f ^{\prime} (x_{0})$ 存在，那么，函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处一定是连续的。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过导数的定义证明上面的结论。

继续阅读“关于可导必连续的一个传统方式证明”

一、前言

积分运算具有使被积函数变得更加平滑的能力，但是，很多参考资料并没有从本质上解释清楚为什么积分具有“平滑”的作用，只是单纯的抛出了这一个结论。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将从本质上阐述清楚积分为什么具有平滑的能力。

继续阅读“为什么积分运算具有使函数变得“平滑”的能力？”

一、前言

等价无穷小公式是考研数学中一个非常常用的工具。

但是，这些等价无穷小公式都是怎么来的呢？

如果说 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$ 就意味着 $\lim_{x \rightarrow 0} \alpha(x)$ 和 $\lim_{x \rightarrow 0} \beta(x)$ 是等价无穷小，但是，为什么式子 $\frac{\lim_{x \rightarrow 0} \alpha(x)}{\lim_{x \rightarrow 0} \beta(x)}$ 就等于 $1$ 呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助“一点处的斜率”这一概念，为同学讲清楚等价无穷小公式的来龙去脉。当然，同学们也可以借助本文中使用的方法，来推导和记忆等价无穷小公式。

继续阅读“等价无穷小的本质：$x = 0$ 处斜率相等”

一、前言

在本文中，我们主要来讨论一下对下面这个式子怎么求导：

$$
y = x^{x}
$$

继续阅读“一个很重要但经常被忽略的求导公式”

一、前言

在做一些涉及极限的求和题目时，我们会发现，有些解法就是通过将求和转为积分的方式完成的求解。

相关例题：(1)、(2)、(3)、(4)、(5)

那么，为什么极限场景下的求和一般可以表示为积分呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」通过将积分的物理意义从有向的几何量（面积、体积）或者物理意义，更改为“有向权重”的方式，探讨一种更接近积分与求和所蕴含的本质的理解方式，从而理清楚积分与求和之间的关系。

这里的“有向”是指存在“正”和“负”两种值。与传统上对积分有向面积或者有向体积的定义一样，本文中也将位于二维坐标水平轴或者三维坐标水平面上方的“有向权重”定义为“正”，下方的“有向权重”则定义为“负”——当然，“有向”并不是本文讨论的重点，也不是本文所提出的“权重”的必须性质，所以，在本文中接下来阐述“有向权重”的时候，会侧重于讨论“权重”本身。

继续阅读“为什么极限场景下的求和一般可以表示为积分？”

一、前言

在本文中，我们一起学习极限的加、减、乘、除四则运算法则以及指数运算法则。

继续阅读“极限的四则运算和指数运算法则”

一、前言

用求和符号 $\sum$ 表示的求和运算是一种非常基本运算形式。在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过地铁线路的方式，为同学们形象地解释单重求和与双重求和的计算思路。

继续阅读“用地铁线路理解单重求和与双重求和的计算”

一、前言

凑微分的目的就是将积分 $\int \Phi(x) \mathrm{~d} x$ 改写成 $\int f(\phi(x)) \mathrm{~d} \phi(x)$ 的形式，即：

$$
\int \textcolor{orange}{\Phi(x)} \mathrm{~d} x = \int f(\textcolor{lightgreen}{\phi(x)}) \mathrm{~d} \textcolor{lightgreen}{\phi(x)}
$$

经过上述变换，就可以将积分变量从 $x$ 拓展成更复杂的 $\phi(x)$, 从而可以在大多数时候达到简化被积函数的作用。

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们汇总了考研数学（高等数学）解题过程中常用的凑微分公式。

继续阅读“常用的凑微分公式汇总”

一、前言

凑微分是进行积分运算的一个常用方法，但是，对于一些复杂的式子，我们可能难以一眼就看出应该怎么“凑”，这时候该怎么办呢？

继续阅读“凑微分，分步凑”

一、前言

罗尔定理是高等数学和考研数学中一个基础且重要的定理，「荒原之梦考研数学」也使用一种非常直观的方式证明了罗尔定理。但是，我们在做题的时候就会发现，仅仅使用传统意义上的罗尔定理，有时候并不能非常好的完成解题，也就是说，罗尔定理需要“进化”。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过在无穷意义上对罗尔定理的扩展，为同学们提供另一个解题视角。

继续阅读“在无穷意义上扩展的罗尔定理及其证明和应用”

一、前言

本文要阐述的是一个非常直观的结论，那就是“沿着直角坐标系中 $X$ 轴或者 $Y$ 轴方向上的平移变换，并不会改变驻点在函数中的绝对位置”。

这一结论成立的原因在于，只要我们不对直线做旋转操作，只是沿着水平或者垂直方向上对水平直线的移动并不会导致水平直线变得不水平（水平直线在平面上的斜向运动可以拆分为水平方向与垂直方向上的运动）。

二、正文

接下来，「荒原之梦考研数学」将通过一个直观的示意图，解释清楚“平移变换不会改变函数中一个点是不是驻点”这一性质：

如图 01 所示，蓝色曲线是函数 $\textcolor{#6D9EEB}{\mathrm{Z} (x) }$ $=$ $- \left( x+2 \right)^{2} – 1$ 的函数图象，绿色曲线是函数 $\textcolor{#6AA84F}{\mathrm{K} (x)}$ $=$ $- x^{2} + 2$ 的函数图象，橙色曲线是函数 $\textcolor{#E69138}{\mathrm{F} (x)}$ $=$ $- \left( x-2 \right)^{2} + 3$ 的函数图象，且 $\mathrm{Z}(a_{2}) = \mathrm{Z}(b_{2})$, $\mathrm{K}(a_{0}) = \mathrm{K}(b_{0})$, $\mathrm{F}(a_{1}) = \mathrm{F}(b_{1})$:

可以看到，无论是将函数 $\mathrm{Z}(x)$ 沿着坐标系的 $X$ 轴和 $Y$ 轴方向平移到函数 $\mathrm{K}(x)$ 的位置，还是将函数 $\mathrm{F}(x)$ 沿着坐标系的 $X$ 轴和 $Y$ 轴方向平移到函数 $\mathrm{K}(x)$ 的位置，都不会改变驻点 $c_{2}$ 或 $c_{1}$ 在函数中的绝对位置。

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一、前言

罗尔定理是微分学中的一个非常重要的定理，也是引出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基础。但是，对罗尔定理的传统证明方法并不能非常直观的反映出罗尔定理的性质（不过，本文中仍然会给出基于传统数学方法的罗尔定理证明），所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用一种原创的方式，通过一个非常自然的过程，证明罗尔定理，因为我相信——

只 要 是 正 确 的 数 学 定 理 ，都 具 有 不 证 自 明 的 性 质 ，只 是 需 要 我 们 更 换 一 下 观 察 和 思 考 的 角 度 。

继续阅读“罗尔定理的本质：基于圆形的几何逻辑证明罗尔定理”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过汽车在公路上行驶时的加速和减速过程，来帮助同学们理解函数在一点处的可导性，或者说函数在一点处导数的存在性。

继续阅读“用汽车的加速度理解导数的存在性（一点处的可导性）”

一、前言

根据罗尔定理可知，如果函数 $f(x)$ 满足在闭区间 $[\textcolor{#3C78D8}{a}, \textcolor{#3C78D8}{b}]$ 上连续；在开区间 $(\textcolor{#3C78D8}{a}, \textcolor{#3C78D8}{b})$ 内可微分；在区间端点处的函数值相等，即 $f(\textcolor{#3C78D8}{a}) = f(\textcolor{#3C78D8}{b})$, 则至少有一个点 $\textcolor{#FFD966}{\xi} \in (\textcolor{#3C78D8}{a}, \textcolor{#3C78D8}{b})$, 使得 $f^{\prime}(\textcolor{#FFD966}{\xi}) = 0$, 也就是说，$\textcolor{#FFD966}{\xi}$ 就是函数 $f(x)$ 的一个驻点。

那么，如果，$f(\textcolor{#3C78D8}{a}) = f(\textcolor{#3C78D8}{b}) = 0$, 也就是函数 $f(x)$ 与坐标轴的 $X$ 轴存在两个交点 $\textcolor{#3C78D8}{a}$ 和 $\textcolor{#3C78D8}{b}$ 的时候，是否就意味着在区间 $(\textcolor{#3C78D8}{a}, \textcolor{#3C78D8}{b})$ 上一定会存在至少一个函数 $f(x)$ 的驻点呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们深入图解这一问题。

继续阅读“有 $N$ 个零点的函数，一定至少有 $N-1$ 个驻点吗？”