一、前言 
在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助积分的平滑性来证明“可导必连续”这一结论，有关该结论的另一种证明方式，可以查阅《关于可导必连续的一个传统方式证明》这篇文章。
二、正文 
首先，通过「荒原之梦考研数学」的《为什么积分运算具有使函数变得“平滑”的能力？》这篇文章可知，积分运算可以让函数变得平滑，即：
只要函数 $f(x)$ 在指定的区间 $C$ 上处处有定义，那么，通过在区间 $C$ 上对该函数进行积分运算，所得到的函数 $F(x)$ 在区间 $C$ 上就一定是连续且光滑的：
$$
F(x) = \int_{C} f(x) \mathrm{~d} x
$$
Tip
“连续”是一个比“光滑”稍弱一些的属性；同时，“光滑”就意味着“可导”。
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于是，若已知 $y ^{\prime} (x)$, 则在 $x = x_{0}$ 点处，有：
$$
\textcolor{lightgreen}{
y(x) = y(x_{0}) + \int_{x_{0}}^{x} y ^{\prime} (t) \mathrm{~d} t } \tag{1}
$$
由于积分运算具有使函数变得平滑的能力，所以函数 $y(x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处是连续且光滑的——
积分运算可以保证 $\int_{x_{0}}^{x} y ^{\prime} (t) \mathrm{~d} t$ 是连续且光滑的，为一个连续且光滑的函数加上一个常数 $y(x_{0})$ 并不会影响其连续且光滑的性质。
另外，上面的 $(1)$ 式中之所以要加上一个 $y(x_{0})$, 是因为：
$$
\textcolor{yellow}{
\begin{aligned}
& \int_{ x_{0}}^{x} y^{\prime} (t) \mathrm{~d} t = y(x) – y(x_{0}) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & y(x) = y(x_{0}) + \int_{ x_{0}}^{x} y^{\prime} ( t ) \mathrm{~d} t
\end{aligned}
}
$$
下面的 $(2)$ 式需要加上 $y ^{\prime} (x_{0})$ 也是一样的道理。
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类似地，若已知 $y ^{\prime} (x)$, 则在 $x = x_{0}$ 点处，有：
$$
\textcolor{lightgreen}{
y ^{\prime} (x) = y ^{\prime} (x_{0}) + \int_{x_{0}}^{x} y ^{\prime \prime} (t) \mathrm{~d} t } \tag{2}
$$
由于积分运算具有使函数变得平滑的能力，所以函数 $y ^{\prime} (x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处是连续且光滑的，其中 $y ^{\prime} (x_{0})$ 是函数 $y(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的函数值。
综上可知，可导必连续得证 