一、前言 
积分运算具有使被积函数变得更加平滑的能力,但是,很多参考资料并没有从本质上解释清楚为什么积分具有“平滑”的作用,只是单纯的抛出了这一个结论。
在本文中,「荒原之梦考研数学」将从本质上阐述清楚积分为什么具有平滑的能力。
二、正文 
首先,我们需要定义一下什么是“平滑”。
在「荒原之梦考研数学」看来,所谓的“平滑”,就是我们总能在线条上一个点 $x_{0}$ 的左右两侧附近,找到无数个与 $x_{0}$ 在同一条直线上的点。因为只有这样,才能保证我们在 $x_{0}$ 的左右两侧移动的时候,不会遇到任何起伏,如图 01 所示:
于是可知,所谓不光滑的点 $x_{0}$ 就是在其左侧、右侧,或者左右两侧没有或者只有有限个与其共线的点。
根据前面的分析,要让不平滑的点变得平滑,方法就是尝试让更多的点都位于同一条直线上。
但是,如果点必须位于同一条直线上才能产生光滑的属性,那么,我们怎么说明曲线的光滑性呢?
这就需要用到微分的思想了——
在微分中,我们实际上就是将“点”看作了“线”,只不过这里的“线”非常非常短,短到我们可以将其看作“点”。
同时,在曲线中,这些点只是极限意义上的共线,不是绝对的共线——极限意义上的共线,就是我们可以认为这些点是共线的,但是每一个点和另一个点之间其实存在趋于零的“错位”,从而在宏观上,反映成了曲线的弧度。
接着,我们来看一般意义上积分的定义,由于无论是黎曼积分,还是勒贝格积分,都是在尝试用一个个矩形来拟合曲线与数轴所围成的区域的面积,从而实现积分。
Note
图 03 和图 04 中,绿色部分表示的是黎曼积分 (Riemann Integral),橙色部分表示的是勒贝格积分 (Lebesgue Integral)。
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虽然看上去积分使得原本比较光滑的曲线变得“参差不齐”,但由于积分会将有限的区间切分成无穷多份,因此,随着切分次数的增加,相邻的两份之间的“高度差”或者“长度差”将越来越小,直至趋向于零——这也就意味着相邻的两份之间在极限意义上实现了“共线”。
因此,自带光滑属性的平直的直线,加上两个直线之间极限意义上的共线,就构成了积分具有平滑属性的基础,使得积分运算表现出了具有使函数变得平滑的能力。
另外需要补充说明的一个问题是,虽然积分运算看上去只是对原函数的“光滑拟合”,函数图像看上去不会改变很大。
但是,如果我们将原函数的函数图像表示意义看作是一维的“高度”(如同图 05 中摞起来的小球),那么,积分运算所得函数的函数图像所表示的意义则是二维的“面积”(如同图 06 中平铺的小球)——也就是说,原函数的计量单位是“高度”,积分函数的计量单位是“面积”,所以,积分函数的函数图像只需要用较小的“高度”就可以从面积的角度表示原函数对应的“高度”:
接下来,「荒原之梦考研数学」用一个具体的例子来展示上面的现象。
首先,已知函数 $f_{1} (x)$ $=$ $\sin (2x)$, 函数 $f_{2}(x)$ 是通过对函数 $f_{1} (x)$ 积分得到的,函数 $f_{3}(x)$ 是通过对函数 $f_{2} (x)$ 积分得到的:
$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{ f_{1} (x) } & = \textcolor{lightgreen}{ \sin (2x) } \\ \\
\textcolor{orange}{ f_{2} (x) } & = \int f_{1} (x) \mathrm{~d} x = \textcolor{orange}{ \frac{-1}{2} \cos (2x) } \\ \\
\textcolor{#00bffe}{ f_{3} (x) } & = \int f_{2} (x) \mathrm{~d} x = \textcolor{#00bffe}{ \frac{-1}{4} \sin (2x) }
\end{aligned}
$$
函数 $f_{1} (x)$ 的函数图像如图 06 所示:
函数 $f_{2} (x)$ 的函数图像如图 07 所示:
函数 $f_{3} (x)$ 的函数图像如图 08 所示:
如果将函数 $f_{1} (x)$, $f_{2}(x)$ 和 $f_{3}(x)$ 都放在一起,能更加明显的看出来,每一次积分后得到的函数都会变得更加“平坦”一些:
虽然上面这样的效果也会使得函数图像逐渐变得“平坦”,但这里的“平坦”是宏观意义上的, 并不是本文所说的极限意义上的“光滑”,请读者朋友门注意体会这里的区别。
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