关于可导必连续的一个传统方式证明

一、前言

所谓“可导必连续”说的是，如果一个函数 $f(x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处的导数 $f ^{\prime} (x_{0})$ 存在，那么，函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处一定是连续的。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过导数的定义证明上面的结论。

二、正文

由于函数 $f(x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处可导，所以，下式一定成立：

$$
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_{0} + h) – f(x_{0})}{h} = f ^{\prime} (x_{0})
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{h \rightarrow 0} \left[ f(x_{0} + h) – f(x_{0}) \right] \\ \\
= \ & \textcolor{magenta}{ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_{0} + h) – f(x_{0})}{h} } \cdot h \\ \\
= \ & \textcolor{magenta}{ f ^{\prime} (x_{0}) } \cdot \textcolor{orange}{ \lim_{h \rightarrow 0} h } \\ \\
= \ & f ^{\prime} (x_{0}) \cdot \textcolor{orange}{ 0 } \\ \\
= \ & \textcolor{lightgreen}{0}
\end{aligned}
$$

因此，下面的式子一定成立：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{h \rightarrow 0} \left[ f(x_{0} + h) – f(x_{0}) \right] = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{lightgreen}{ \lim_{h \rightarrow 0} f(x_{0} + h) = f(x_{0}) }
\end{aligned}
$$

由于上面得到的式子 $\textcolor{lightgreen}{ \lim_{h \rightarrow 0} f(x_{0} + h)}$ $\textcolor{lightgreen}{=}$ $\textcolor{lightgreen}{ f(x_{0}) }$ 就是函数在一点处连续的定义，所以“可导必连续”得证。

Tip

注意：连续不一定可导。

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