荒原之梦 - 第107页共242页 - 专注于考研数学|高等数学|线性代数|概率统计

定积分的换元法（B007）

问题

若函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且函数 $\textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{=}$ $\textcolor{Orange}{\phi(t)}$ 满足如下两个条件：
一、函数 $\phi ^{\prime} (t)$ 在区间 $[\alpha, \beta]$ 上连续，且 $\phi ^{\prime} (t)$ $\neq$ $0$;
二、函数 $\phi(\alpha)$ $=$ $a$, $\phi(\beta)$ $=$ $b$, 并且，当 $t$ 在区间 $[\alpha, \beta]$ 上变化时，$\phi(t)$ 的值在区间 $[a, b]$ 上变化。

则：以下使用函数 $\textcolor{Orange}{\phi(t)}$ 对定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 进行换元的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f[\phi(t)]$ $\phi ^{\prime} (t)$ $\mathrm{d} t$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $f[\phi(t)]$ $\phi (t)$ $\mathrm{d} t$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $f[\phi(t)]$ $\phi ^{\prime} (t)$ $\mathrm{d} t$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f[\phi(t)]$ $\phi (t)$ $\mathrm{d} t$

答案

$$\int_{\textcolor{Yellow}{a}}^{\textcolor{Yellow}{b}} \textcolor{Red}{f}(\textcolor{Red}{x}) \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Yellow}{\alpha}}^{\textcolor{Yellow}{\beta}} \textcolor{Red}{f} [\textcolor{Red}{\phi}(\textcolor{Red}{t})] \mathrm{d} [\textcolor{Red}{\phi} (\textcolor{Red}{t})] =$$ $$\int_{\textcolor{Yellow}{\alpha}}^{\textcolor{Yellow}{\beta}} \textcolor{Red}{f} [\textcolor{Red}{\phi}(\textcolor{Red}{t})] \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Red}{\phi} ^{\textcolor{Orange}{\prime}} (\textcolor{Red}{t}) \mathrm{d} t.$$注意：对定积分的换元，不仅要更换自变量 $x$, 还要对应的更换积分上下限.

华里士点火公式（奇数）（B007）

问题

当定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}$ $\textcolor{Orange}{\sin} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 和 $\textcolor{Orange}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}$ $\textcolor{Orange}{\cos} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 中的 $\textcolor{Red}{n}$ 为大于 $\textcolor{Orange}{1}$ 的 [奇数] 时，以下关于 [华里士点火公式] 的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-2}{n-1}$ $\cdots$ $\frac{2}{3}$ $\cdot$ $1$

[B]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-3}{n-2}$ $\cdots$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $1$

[C]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-3}{n-2}$ $\cdots$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\frac{\pi}{2}$

[D]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-3}{n-2}$ $\cdots$ $\frac{2}{3}$ $\cdot$ $1$

答案

$$\int_{\textcolor{Orange}{0}}^{\textcolor{Orange}{\frac{\pi}{2}}} \textcolor{Yellow}{\sin} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Yellow}{x} \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{0}}^{\textcolor{Orange}{\frac{\pi}{2}}} \textcolor{Yellow}{\cos} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Yellow}{x} \mathrm{d} x =$$ $$\frac{\textcolor{Red}{n-1}}{\textcolor{Red}{n}} \cdot \frac{\textcolor{Red}{n-3}}{\textcolor{Red}{n-2}} \cdots \frac{\textcolor{Red}{2}}{\textcolor{Red}{3}} \cdot \textcolor{Red}{1}.$$

华里士点火公式（偶数）（B007）

问题

当定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}$ $\textcolor{Orange}{\sin} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 和 $\textcolor{Orange}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}$ $\textcolor{Orange}{\cos} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Orange}{x}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 中的 $\textcolor{Red}{n}$ 为大于 $\textcolor{Orange}{1}$ 的 [偶数] 时，以下关于 [华里士点火公式] 的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-3}{n-2}$ $\cdots$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\frac{\pi}{2}$

[B]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-2}{n-1}$ $\cdots$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\frac{\pi}{2}$

[C]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-3}{n-2}$ $\cdots$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $1$

[D]. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\sin ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}$ $\cos ^{n} x$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{n-1}{n}$ $\cdot$ $\frac{n-3}{n-2}$ $\cdots$ $\frac{2}{3}$ $\cdot$ $1$

答案

$$\int_{\textcolor{Orange}{0}}^{\textcolor{Orange}{\frac{\pi}{2}}} \textcolor{Yellow}{\sin} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Yellow}{x} \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{0}}^{\textcolor{Orange}{\frac{\pi}{2}}} \textcolor{Yellow}{\cos} ^{\textcolor{Red}{n}} \textcolor{Yellow}{x} \mathrm{d} x =$$ $$\frac{\textcolor{Red}{n-1}}{\textcolor{Red}{n}} \cdot \frac{\textcolor{Red}{n-3}}{\textcolor{Red}{n-2}} \cdots \frac{\textcolor{Red}{1}}{\textcolor{Red}{2}} \cdot \frac{\textcolor{Red}{\pi}}{\textcolor{Red}{2}}.$$

周期函数的定积分性质（B007）

问题

若函数 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续 [周期函数]，$a$ 为任意实数，则下面关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{a + T}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{a + T}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{-T}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$

[B]. $\int_{a}^{a + T}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{-T}^{T}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$

[C]. $\int_{a}^{a + T}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{T}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$

[D]. $\int_{a}^{a + T}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{0}^{T}$ $f(x)$ $\mathrel{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{a + T}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Red}{0}}^{\textcolor{Red}{T}} f(x) \mathrel{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Red}{-\frac{T}{2}}}^{\textcolor{Red}{\frac{T}{2}}} f(x) \mathrel{d} x.$$ 注意：对于被积函数是同一个周期函数的定积分而言，只要上限与下限的差值相等，则这两个定积分就是相等的.

此外：
$$\int_{\textcolor{Red}{0}}^{\textcolor{Red}{a \cdot T}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Orange}{a} \textcolor{Green}{\cdot} \int_{\textcolor{Red}{0}}^{\textcolor{Red}{T}} f(x) \mathrm{d} x.$$

如何判断定积分中的被积函数是否为偶函数（B007）

问题

设函数 $f(x)$ 在区间 $[-a, a]$ 上连续，则以下哪个选项可以说明定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{-a}^{a}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 中的被积函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 为 [偶函数]？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $2 \int_{0}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{-a}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\neq$ $2 \int_{0}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{-a}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $2 \int_{0}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{-a}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{2} \int_{0}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

若：$$\int_{\textcolor{Red}{-a}}^{\textcolor{Red}{a}} f(x) \mathrm{d} x = \textcolor{Orange}{2} \int_{\textcolor{Orange}{0}}^{\textcolor{Orange}{a}} f(x) \mathrm{d} x$$则被积函数 $f(x)$ 为偶函数.

注意：积分区间 $[-a, a]$ 是关于原点对称的.

如何判断定积分中的被积函数是否为奇函数（B007）

问题

选项

[A]. $\int_{-a}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $0$

[B]. $\int_{-a}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $1$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $0$

[D]. $\int_{-a}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\neq$ $0$

答案

若：$$\int_{\textcolor{Red}{-a}}^{\textcolor{Red}{a}} f(x) \mathrm{d} x = \textcolor{Orange}{0}$$则被积函数 $f(x)$ 为奇函数.

注意：积分区间 $[-a, a]$ 是关于原点对称的.

牛顿-莱布尼兹公式（B007）

问题

设函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $\textcolor{Orange}{F(x)}$ 是函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的一个原函数，则以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int _{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(a)$ $-$ $F(b)$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(b)$ $+$ $F(a)$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(b)$ $-$ $F(a)$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $F(a)$ $+$ $F(b)$

答案

$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} \textcolor{Red}{f}(x) \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{F}(x) \Bigg| _{\textcolor{Orange}{a}} ^{\textcolor{Orange}{b}} =$$ $$\textcolor{Red}{F}(\textcolor{Orange}{b}) \textcolor{Green}{-} \textcolor{Red}{F}(\textcolor{Orange}{a}).$$

变上限积分定义的第二个推论（B007）

问题

若函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $\textcolor{Orange}{\phi(x)}$ 和函数 $\textcolor{Orange}{\mu(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上可导，且变限积分 $\textcolor{Orange}{F(x)}$ $\textcolor{Orange}{=}$ $\textcolor{Orange}{{\int}_{\mu(x)}^{\phi(x)}}$ $\textcolor{Orange}{f(t)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} t}$, 则 $\textcolor{Orange}{F^{\prime}(x)}$ $=$ $?$

选项

[A]. $F^{\prime}$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\phi^{\prime}(x)$ $+$ $\mu(x)$ $\mu^{\prime}(x)$

[B]. $F^{\prime}$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\phi^{\prime}(x)$ $-$ $\mu(x)$ $\mu^{\prime}(x)$

[C]. $F^{\prime}$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\phi(x)$ $+$ $\mu(x)$ $\mu(x)$

[D]. $F^{\prime}$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\phi(x)$ $-$ $\mu(x)$ $\mu(x)$

答案

$$F^{\textcolor{Yellow}{\prime}} =$$ $$\Bigg[ \int_{\textcolor{Orange}{\mu(x)}}^{\textcolor{Orange}{\phi(x)}} f(t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\textcolor{Yellow}{\prime}} =$$ $$f[\textcolor{Orange}{\phi(x)}] \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Orange}{\phi} ^{\textcolor{Yellow}{\prime}} \textcolor{Orange}{(x)}$$ $$\textcolor{Green}{-}$$ $$f[\textcolor{Orange}{\mu(x)}] \textcolor{Green}{\cdot} \textcolor{Orange}{\mu} ^{\textcolor{Yellow}{\prime}} \textcolor{Orange}{(x)}.$$

变上限积分定义的第一个推论（B007）

问题

若函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $\textcolor{Orange}{\phi(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上可导，且变上限积分 $\textcolor{Orange}{F(x)}$ $\textcolor{Orange}{=}$ $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{\phi(x)}}$ $\textcolor{Orange}{f(t)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} t}$, 则 $\textcolor{Orange}{F^{\prime}(x)}$ $=$ $?$

选项

[A]. $F^{\prime}(x)$ $=$ $f [ \phi(x)]$ $\cdot$ $\phi(x)$

[B]. $F^{\prime}(x)$ $=$ $f[\phi(x)]$

[C]. $F^{\prime}(x)$ $=$ $f[\phi ^{\prime} (x)]$ $\cdot$ $\phi(x)$

[D]. $F^{\prime}(x)$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\cdot$ $\phi^{\prime}(x)$

答案

$$\textcolor{Orange}{F^{\prime}(x)} =$$ $$\Bigg[ \int_{\textcolor{Yellow}{a}}^{\textcolor{Yellow}{\phi(x)}} \textcolor{Red}{f(t)} \mathrm{d} t \Bigg] \textcolor{Yellow}{^{\prime}} =$$ $$f[\textcolor{Red}{\phi(x)}] \cdot \textcolor{Red}{\phi} \textcolor{Yellow}{^{\prime}} \textcolor{Red}{(x)}.$$

变上限积分的定义（B007）

问题

设函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $\textcolor{Orange}{F(x)}$ 在区间 $[a, b]$ 上可导，且 $\textcolor{Orange}{F^{\prime}(x)}$ $\textcolor{Orange}{=}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$, 则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $F(x)$ $=$ $\int_{a}^{x}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$

[B]. $F(x)$ $=$ $\int_{x}^{a}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$

[C]. $F(x)$ $=$ $\int_{x}^{b}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$

[D]. $F(x)$ $=$ $\int_{b}^{x}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$

答案

$$\textcolor{Red}{F(x)} \textcolor{Green}{=}$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{x}} \textcolor{Red}{f(t)} \mathrm{d} t$$

利用定积分计算函数平均值（B007）

问题

根据定积分的性质，以下哪个选项是函数 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ 在区间 $\textcolor{Orange}{[a, b]}$ 上的平均值？

选项

[A]. $\frac{1}{b + a}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\frac{1}{b – a}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $(b – a)$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\frac{1}{a – b}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值：
$$\textcolor{Red}{\frac{1}{b – a}} \textcolor{Green}{\times} \int_{a}^{b} \textcolor{Red}{f(x)} \mathrm{d} x.$$

广义的定积分中值定理（B007）

问题

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，函数 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积且恒正或恒负，则一定存在 $\textcolor{Orange}{\xi}$ $\textcolor{Orange}{\in}$ $\textcolor{Orange}{[a, b]}$, 使得关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $g(\xi)$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $g(\xi)$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\xi$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $f(\xi)$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{a}^{b} \textcolor{Green}{\Bigg [} \textcolor{Red}{f(x)} \textcolor{Green}{\times} \textcolor{Yellow}{g(x)} \textcolor{Green}{\Bigg ]} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{f(\xi)} \textcolor{Green}{\times} \int_{a}^{b} \textcolor{Yellow}{g(x)} \mathrm{d} x.$$ 其中，$g(x)$ $\geqslant$ $0$ 或者 $g(x)$ $\leqslant$ $0$.

定积分的中值定理（B007）

问题

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则一定存在 $\xi$ 使得关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $(a-b)$ $f(\xi)$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $(b-a)$ $f(\xi)$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $- (b-a)$ $f(\xi)$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $(a+b)$ $f(\xi)$

答案

$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$(\textcolor{Red}{b} \textcolor{Green}{-} \textcolor{Red}{a}) \textcolor{Orange}{f(\xi)}$$

定积分的估值定理（B007）

问题

若 $\textcolor{Orange}{m}$ $\textcolor{Orange}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{M}$, $x$ $\in$ $[a, b]$, 其中 $m$ 和 $M$ 均为常数，则以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $m(b-a)$ $<$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $<$ $M(b-a)$

[B]. $m(b-a)$ $\geqslant$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\geqslant$ $M(b-a)$

[C]. $m(b-a)$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\leqslant$ $M(b-a)$

[D]. $M(a-b)$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\leqslant$ $m(b-a)$

答案

$$\textcolor{Red}{m \times (b-a)}$$ $$\textcolor{Green}{\leqslant}$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} f(x) \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Green}{\leqslant}$$ $$\textcolor{Red}{M \times (b-a)}$$

定积分比较定理的第二个推论（B007）

问题

以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\Big|}$ $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $\textcolor{Orange}{\Big|}$ 的结论，正确的是哪个？

选项

[A]. $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) |$ $\mathrm{d} x$

[B]. $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ $>$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) |$ $\mathrm{d} x$

[C]. $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ $<$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) |$ $\mathrm{d} x$

[D]. $|$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $|$ $\geqslant$ $\int_{a}^{b}$ $| f(x) |$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\textcolor{Red}{\Bigg|} \int_{a}^{b} \textcolor{Green}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{\Bigg|}$$ $$\textcolor{Orange}{\leqslant}$$ $$\int_{a}^{b} \textcolor{Red}{|} \textcolor{Green}{f(x)} \textcolor{Red}{|} \mathrm{d} x$$

说明：
对于定积分而言，当 $f(x)$ $>$ $0$ 时，会使定积分的值变大，反之，当 $f(x)$ $<$ $0$ 时，会使定积分的值变小.
由于对定积分整体取绝对值并不能保证 $f(x)$ $\geqslant$ $0$, 而对函数 $f(x)$ 本身取绝对值则可以保证 $|f(x)|$ $\geqslant$ $0$, 于是有如上结论.