广义的定积分中值定理（B007）

问题

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，函数 $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积且恒正或恒负，则一定存在 $\xi$ $\in$ $[a,b]$, 使得关于定积分 ${\int }_a^b$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathrm{d}x$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A].   ${\int }_a^b$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathrm{d}x$ $=$ $f(\xi )$ ${\int }_a^b$ $g(x)$ $\mathrm{d}x$

[B].   ${\int }_a^b$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathrm{d}x$ $=$ $g(\xi )$ ${\int }_a^b$ $f(x)$ $\mathrm{d}x$

[C].   ${\int }_a^b$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathrm{d}x$ $=$ $g(\xi )$ ${\int }_a^b$ $g(x)$ $\mathrm{d}x$

[D].   ${\int }_a^b$ $f(x)$ $g(x)$ $\mathrm{d}x$ $=$ $\xi$ ${\int }_a^b$ $g(x)$ $\mathrm{d}x$

   答 案   

$${\int }_a^b[f(x)\times g(x)]\mathrm{d}x=$$ $$f(\xi )\times {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x.$$ 其中，$g(x)$ $⩾$ $0$ 或者 $g(x)$ $⩽$ $0$.