荒原之梦 - 第108页共242页 - 专注于考研数学|高等数学|线性代数|概率统计

定积分比较定理的第一个推论（B007）

问题

若 $x$ $\in$ $[a, b]$, 且 $\textcolor{Red}{f(x)}$ $\textcolor{Red}{\geqslant}$ $\textcolor{Red}{0}$, 则以下关于定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的结论，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $0$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\leqslant$ $0$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\geqslant$ $0$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\neq$ $0$

答案

$$\textcolor{Orange}{f(x)} \textcolor{Red}{\geqslant} \textcolor{Orange}{0} \textcolor{Green}{\Rightarrow}$$ $$\int_{a}^{b} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{\geqslant} \int_{a}^{b} \textcolor{Orange}{0} \mathrm{d} x \textcolor{Green}{\Rightarrow}$$ $$\int_{a}^{b} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{\geqslant} \textcolor{Orange}{0}.$$

同理可知：
若 $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Red}{\leqslant}$ $\textcolor{Orange}{0}$, 则：$$\int_{a}^{b} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{\leqslant} \textcolor{Orange}{0}.$$

定积分的比较定理（B007）

问题

若 $x$ $\in$ $[a, b]$, 且 $f(x)$ $\leqslant$ $g(x)$, 则根据定积分的比较定理，$\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 与 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 是什么关系？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\leqslant$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $>$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\geqslant$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $<$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x$$ $$\textcolor{Red}{\leqslant}$$ $$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{g(x)} \mathrm{d} x$$ 定积分的比较定理：

在积分区间一样的情况下，不同定积分的相对大小取决于不同被积函数的相对大小.

定积分积分区间的可加性（B007）

问题

若常数 $\textcolor{Orange}{c}$ 是定积分的积分区间 $\textcolor{Orange}{[a, b]}$ 内部或者外部的一个常数，则定积分 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{c}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{b}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{b}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{c}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{c}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Green}{c}} f(x) \mathrm{d} x + \int_{\textcolor{Green}{c}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x.$$注意：常数 $c$ 不一定要在积分区间 $[a, b]$ 内部，常数 $c$ 也可以在积分区间 $[a, b]$ 外部.

含有常数 $k$ 的定积分的运算性质（B007）

问题

根据定积分的基本性质，若 $k$ 为常数，则 $\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Red}{k}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $k$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\frac{1}{k}$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $k$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $-$ $k$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $k$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $k$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $k$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{a}^{b} \textcolor{Red}{k} \textcolor{Green}{f(x)} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{k} \int_{a}^{b} \textcolor{Green}{f(x)} \mathrm{d} x$$

定积分的减法运算法则（B007）

问题

根据定积分的基本性质，$\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{[}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Red}{-}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$ $\textcolor{Orange}{]}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{b}^{a}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\times$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} [\textcolor{Orange}{f(x)} \textcolor{Red}{-} \textcolor{Orange}{g(x)}] \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{-} \int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{g(x)} \mathrm{d} x$$

定积分的加法运算法则（B007）

问题

根据定积分的基本性质，$\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Orange}{[}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{White}{+}$ $\textcolor{Orange}{g(x)}$ $\textcolor{Orange}{]}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $+$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{b}^{a}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $+$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\times$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $+$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $-$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $[$ $f(x)$ $+$ $g(x)$ $]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\int_{a}^{b}$ $g(x)$ $\mathrm{d} x$

答案

$$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} [\textcolor{Orange}{f(x)} \textcolor{Red}{+} \textcolor{Orange}{g(x)}] \mathrm{d} x =$$ $$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{f(x)} \mathrm{d} x \textcolor{Red}{+} \int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Orange}{g(x)} \mathrm{d} x.$$

定积分的被积函数为 $1$ 怎么计算？（B007）

问题

根据定积分的基本性质，$\textcolor{Orange}{\int_{a}^{b}}$ $\textcolor{Red}{1}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\textcolor{White}{?}$

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $1$ $\mathrm{d} x$ $=$ $b$ $-$ $a$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $1$ $\mathrm{d} x$ $=$ $a$ $+$ $b$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $1$ $\mathrm{d} x$ $=$ $a$ $-$ $b$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $1$ $\mathrm{d} x$ $=$ $b$ $+$ $a$

答案

$$\int_{\textcolor{Green}{a}}^{\textcolor{Green}{b}} \textcolor{Red}{1} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Green}{b – a}.$$

调换定积分的上下限对定积分的影响（B007）

问题

根据定积分的基本性质，若调换定积分 $\textcolor{Orange}{\int}_{\textcolor{White}{a}}^{\textcolor{White}{b}}$ $\textcolor{Orange}{f(x)}$ $\textcolor{Orange}{\mathrm{d} x}$ 的下限 $\textcolor{White}{a}$ 和上限 $\textcolor{White}{b}$, 则以下哪个选项是正确的？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $-$ $\int_{b}^{a}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(-x)$ $\mathrm{d} (-x)$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $0$

答案

$$\int_{\textcolor{Red}{a}}^{\textcolor{Red}{b}} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Orange}{-} \int_{\textcolor{Red}{b}}^{\textcolor{Red}{a}} f(x) \mathrm{d} x$$

定积分与积分变量无关的原则（B007）

问题

根据定积分的基本性质，下列选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{b}^{a}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$

[B]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} t$

[C]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(t)$ $\mathrm{d} x$

[D]. $\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$

答案

$$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} f(\textcolor{Red}{x}) \mathrm{d} \textcolor{Red}{x} =$$ $$\int_{\textcolor{Orange}{a}}^{\textcolor{Orange}{b}} f(\textcolor{Red}{t}) \mathrm{d} \textcolor{Red}{t}$$由于定积分本质上是一个值，因此，定积分与积分变量的选取无关.

函数可积与有界之间的关系（B007）

问题

下面关于函数[可积]与[有界]之间关系的描述，正确的是哪个？

选项

[A]. 函数可积与有界之间没有关系

[B]. 函数若可积则可能有界

[C]. 函数若可积则必有界

[D]. 函数若可积则一定无界

答案

函数可积与有界之间的关系

简洁版：
如果一个函数在某区间上可积，则该函数在该区间上必有界.
（是否可积的最终判断依据就是看积分区间与被积函数之间围成的区域的面积是否可以准确计算出来.）

标准版：
设函数 $\textcolor{Red}{f(x)}$ 在区间 $\textcolor{Red}{I}$ 上[可积]，则函数 $\textcolor{Red}{f(x)}$ 在区间 $\textcolor{Red}{I}$ 上必[有界].

函数可积是有界的必要条件.

函数有界、有间断点与可积之间的关系（B007）

问题

下面关于函数[有界]、[有间断点]与[可积]之间关系的描述，正确的是哪个？

选项

[A]. 在有界区间上有无数个间断点的函数必可积

[B]. 在有界区间上有间断点的函数必可积

[C]. 在有界区间上只有有限个间断点的函数必可积

[D]. 只要有间断点一定不可积

答案

函数有界、有间断点与可积之间的关系

简洁版：
在有界区间上只有有限个间断点的函数必可积.
（是否可积的最终判断依据就是看积分区间与被积函数之间围成的区域的面积是否可以准确计算出来.）

标准版：
设函数 $\textcolor{Red}{f(x)}$ 在闭区间 $\textcolor{Red}{[a, b]}$ 上[有界]，且只有有限个[间断点]，则函数 $\textcolor{Red}{f(x)}$ 在闭区间 $\textcolor{Red}{[a, b]}$ 上[可积].

函数连续与可积之间的关系（B007）

问题

下面关于函数的[连续]与[可积]之间关系的描述，正确的是哪个？

选项

[A]. 开区间上连续必可积

[B]. 闭区间上连续一定不可积

[C]. 闭区间上连续不一定可积

[D]. 闭区间上连续必可积

答案

函数连续与可积之间的关系

简洁版：
闭区间上连续必可积.
(是否可积的最终判断依据就是看积分区间与被积函数之间围成的区域的面积是否可以准确计算出来.)

标准版：
设函数 $\textcolor{Red}{f(x)}$ 在闭区间 $\textcolor{Red}{[a, b]}$ 上[连续]，则函数 $\textcolor{Red}{f(x)}$ 在闭区间 $\textcolor{Red}{[a, b]}$ 上[可积].

被积函数 $\sqrt{x^{2} – a^{2}}$ 的三角代换方法（B006）

问题

若通过三角代换计算积分 [$\textcolor{Orange}{\int \sqrt{x^{2} – a^{2}} \mathrm{d} x}$], 则应令 $\textcolor{Red}{x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $x$ $=$ $- a \sec t$

[B]. $x$ $=$ $\sec t$

[C]. $x$ $=$ $a \sec t$

[D]. $x$ $=$ $a \csc t$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\sqrt{x^{2} – a^{2}}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x}$$ $$\textcolor{Green}{\xrightarrow[]{x = a \times \sec t}}$$ $$\int \textcolor{Red}{\sqrt{(a \sec t)^{2} – a^{2}}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{(a \sec t)} =$$ $$\int \textcolor{Red}{\sqrt{(a^{2} \sec ^{2} t – a^{2})} \cdot a \sec t \tan t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{\sqrt{a^{2} (\sec ^{2} t – 1)} \cdot a \sec t \tan t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{a \sqrt{\sec ^{2} t – 1} \cdot a \sec t \tan t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{a \sqrt{\tan ^{2} t} \cdot a \sec t \tan t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{a \tan t \cdot a \sec t \tan t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{a ^{2} \tan ^{2} t \cdot \sec t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\textcolor{Orange}{a ^{2}} \int \textcolor{Red}{\tan ^{2} t \cdot \sec t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t}.$$

被积函数 $\sqrt{a^{2} + x^{2}}$ 的三角代换方法（B006）

问题

若通过三角代换计算积分 [$\textcolor{Orange}{\int \sqrt{a^{2} + x^{2}} \mathrm{d} x}$], 则应令 $\textcolor{Red}{x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $x$ $=$ $- \tan t$

[B]. $x$ $=$ $- a \tan t$

[C]. $x$ $=$ $\tan t$

[D]. $x$ $=$ $a \tan t$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x}$$ $$\textcolor{Green}{\xrightarrow[]{x = a \times \tan t}}$$ $$\int \textcolor{Red}{\sqrt{a^{2} + (a \tan t)^{2}}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{(a \tan t)}$$ $$\int \textcolor{Red}{\sqrt{a^{2}(1 + \tan ^{2} t)}} \cdot a \sec ^{2} t \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t}$$ $$\int \textcolor{Red}{a \sqrt{(1 + \tan ^{2} t)}} \cdot a \sec ^{2} t \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t}$$ $$\int \textcolor{Red}{a \sqrt{\sec ^{2} t}} \cdot a \sec ^{2} t \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t}$$ $$\int \textcolor{Red}{a \sec t} \cdot a \sec ^{2} t \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t}$$ $$\int \textcolor{Red}{a^{2} \sec ^{3} t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t}$$ $$\textcolor{Orange}{a^{2}} \int \textcolor{Red}{\sec ^{3} t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t}.$$

被积函数 $\sqrt{a^{2} – x^{2}}$ 的三角代换方法（B006）

问题

若通过三角代换计算积分 [$\textcolor{Orange}{\int \sqrt{a^{2} – x^{2}} \mathrm{d} x}$], 则应令 $\textcolor{Red}{x}$ $=$ $?$

选项

[A]. $x$ $=$ $a \cos t$

[B]. $x$ $=$ $\sin t$

[C]. $x$ $=$ $a \sin t$

[D]. $x$ $=$ $\cos t$

答案

$$\int \textcolor{Red}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{x}$$ $$\textcolor{Green}{\xrightarrow[]{x = a \times \sin t}}$$ $$\int \textcolor{Red}{\sqrt{a^{2} – (a \sin t)^{2}}} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{(a \sin t)} =$$ $$\int \textcolor{Red}{\sqrt{a^{2}(1 – \sin ^{2} t)} \cdot a \cos t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{a \sqrt{\cos ^{2} t} \cdot a \cos t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\int \textcolor{Red}{a^{2} \cdot \cos ^{2} t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t} =$$ $$\textcolor{Orange}{a^{2}} \int \textcolor{Red}{\cos ^{2} t} \mathrm{d} \textcolor{Yellow}{t}.$$其中，$a$ 为常数，且 $a^{2}$ $-$ $x^{2}$ $\neq$ $0$.