月度归档： 2022 年 7 月

设在区间 $U$ 上，函数 $f(x)$ 的原函数为 $F(x)$, $C$ 为任意常数，则 $F(x)$ $+$ $C$ 就是 $f(x)$ 的不定积分，记作：
$F(x)$ $+$ $C$ $=$ $\int$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $F(x)$ $=$ $\int$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ + $C$.

在定义区间上包含以下类型间断点的函数【一定不存在】原函数（因为包含以下间断点的函数无法进行积分）：
可去间断点
跳跃间断点
无穷间断点

此外，包含【震荡间断点】的函数【可能】存在原函数.

连续函数一定存在原函数.

解释：
连续函数在其定义域上一定是可积的，因此，根据不定积分的定义可知，连续函数（该函数不一定处处可导）一定存在原函数.
此外，由于可导一定连续，因此，可导函数也一定存在原函数.

原函数的定义

简洁版：
$F'(x)$ $=$ $f(x)$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ 函数 $F(x)$ 是函数 $f(x)$ 的原函数

完整版：
设$f(x)$ 是定义在区间 $U$ 上的一个函数，如果存在 $\forall$ $x$ $\in$ $U$, 都有 $F'(x)$ $=$ $f(x)$ 或者 $\mathrm{d} F(x)$ $=$ $f(x) \mathrm{d} x$, 则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $U$ 上的一个原函数.

$R$ $=$ $\frac{1}{k}$ $=$ $\frac{(1 + y’ ^{2})^{\frac{3}{2}}}{|y”|}$, $k$ $\neq$ $0$.

$k$ $=$ $\frac{|y”|}{(1+y’ ^{2})^{\frac{3}{2}}}$

如果 $k$ $=$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\frac{f(x)}{x}$ 且 $b$ $=$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $[$ $f(x)$ $-$ $kx$ $]$, 或者 $k$ $=$ $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $\frac{f(x)}{x}$ 且 $b$ $=$ $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $[$ $f(x)$ $-$ $kx$ $]$，则直线 $y$ $=$ $kx$ $+$ $b$ 就是曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 的倾斜渐近线.

$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$ 或 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $x$ $=$ $x_{0}$ 是函数 $f(x)$ 的垂直渐近线.

$\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $f(x)$ $=$ $a$ 或 $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $f(x)$ $=$ $a$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $y$ $=$ $a$ 是函数 $f(x)$ 的水平渐近线

$f”(x_{0})$ $=$ $0$ 且 $f”'(x_{0})$ $\neq$ $0$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ 点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 为函数 $f(x)$ 的一个拐点.

如果函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处有 $f”(x_{0})$ $=$ $0$, 或者，虽然 $f”(x_{0})$ 不存在，但函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续，那么，如果再可知，$f”(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两侧邻域内异号，则可以判断，坐标点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 为函数 $f(x)$ 的一个拐点.

如果函数 $f(x)$ 的【凹凸】性在过点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 的时候发生了改变，则称点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 是该函数的一个拐点.

$f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $<$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凹的.
$f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $>$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凸的.