已知：
$$
\begin{aligned}
D & = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} \\ \\
D_{1} & = \begin{vmatrix}
2 a_{11} & 2 a_{12} & 2 a_{13} \\
2 a_{21} & 2 a_{22} & 2 a_{23} \\
2 a_{31} & 2 a_{32} & 2 a_{33}
\end{vmatrix}
\end{aligned}
$$
则：
$$
D_{1} = ?
$$
[A]. $2 D$
[C]. $2^{9} D$
[B]. $2^{3} D$
[D]. $2 \cdot 3 D$
在解决含有无穷小量问题的时候，我们常常需要面对的问题就是：
什么时候该将无穷小量考虑进运算结果中？什么时候又该将无穷小量舍去？
在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助“小泡泡转为大泡泡”的现象，为同学们讲明白，如何通过让大的无穷小更大，让小的无穷小更小的“分化融合”方法，来明确无穷小量在具体计算过程中的取舍。
继续阅读“解决无穷小量取舍问题的一个思路：让小泡泡汇聚成大泡泡”已知 $\boldsymbol{\alpha_{1}}$, $\boldsymbol{\alpha_{2}}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$（其中 $s \leqslant n$）是一组 $n$ 维列向量，$\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵。如果：
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1} = \boldsymbol{\alpha}_{2}, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2} = \boldsymbol{\alpha}_{3}, \\
& \cdots, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s-1} = \boldsymbol{\alpha}_{s} \neq \mathbf{0}, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s} = \mathbf{0}
\end{aligned}
$$
请证明向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关。
难度评级：
继续阅读“借助函数或数列的思想研究向量的变化过程”标准正态分布具有很多独特的性质，因此，一般的普通正态分布到标准正态分布的转换，也是概率统计这门学科经常考察的一个知识点。
在本文中，我们只考虑一维情况下的一般正态分布（普通正态分布）到标准正态分布的转换公式以及例题。
继续阅读“一般的一维正态分布到标准正态分布的转换公式与例题详解”什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
对函数的自变量加上、减去、乘以、除以一个数字可以对函数图像产生影响，在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示和口诀的方式让同学们能够直观地理解这种影响，进而在学习和解题的过程中加以应用。
继续阅读“峰图 | 加减乘除运算对函数图象形状的影响”在手绘正态分布的概率密度函数的时候，我们需要知道概率密度函数图象的大致形状和一些特殊点的位置，这也可以帮助我们理解正态分布相关概念以及辅助解题。
所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们绘制了一个清晰的正态分布概率密度函数图象，并标注出了一些特殊的坐标点。
继续阅读“正态分布概率密度函数图像的特殊点”
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解考研高等数学以及概率论和数理统计课程中常用的伽马函数。
继续阅读“伽马函数（欧拉第二积分/Gamma Function）详解”
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示的方式，用直观的表述给同学们讲明白概率论与数理统计中的“点估计”这一概念。
继续阅读“什么是点估计？点估计的作用是什么？”
高斯函数、高斯积分和正态分布之间具有密切的关系，搞明白这些关系，有助于我们对题目和解题方式有更清晰的理解。
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们讲明白这些概念之间的关系。
继续阅读“高斯函数、高斯积分与正态分布之间的关系”在一些概率论和数理统计的题目或者学习资料中，我们可能会看到如下这样的写法：
$$
\begin{pmatrix}
n \\
k
\end{pmatrix}
$$
那么，上面这个式子是什么意思呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细解答一下。
继续阅读“概率论中的 $\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}$ 表示什么意思？”$$
D = \begin{vmatrix}
\textcolor{orange}{a_{0}} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{\cdots} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} \\
\textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{a_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & \textcolor{orange}{a_{2}} & \cdots & 0 & 0 \\
\textcolor{orange}{\vdots} & \vdots & \vdots & \textcolor{orange}{\ddots} & \vdots & \cdots \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & 0 & \cdots & \textcolor{orange}{a_{n−1}} & 0 \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & \textcolor{orange}{a_{n}}
\end{vmatrix} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“计算“鸡爪型”行列式的思路：消去其中一“爪””“抽样”是概率论中的一个关键概念，一般情况下，“抽象”特指“简单随机抽样”。
那么，什么是“简单随机抽样”，什么不是“简单随机抽样”呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解清楚这一问题。
继续阅读“有限总体的大量无放回抽样不是简单随机抽样”切比雪夫不等式（又称：切贝雪夫不等式，英文名称：chebyshev’s theorem）在概率论与数理统计中这门课程中是一个非常重要的概念，该不等式在大数定理中也发挥着重要的作用。
在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过直观的文字与图形化解释，帮助同学们更好地理解切比雪夫不等式。
继续阅读“切比雪夫不等式的含义及其可视化”已知，函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导, $\left\{ \alpha_{n} \right\}$ 与 $\left\{\beta_{n} \right\}$ 是两个趋于 0 的正数列, 请求解下面的极限：
$$
I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f \left(x_{0} + \alpha_{n} \right) – f \left(x_{0} – \beta_{n} \right)}{\alpha_{n} + \beta_{n} }
$$
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继续阅读“没说邻域内可导不能用洛必达法则”