一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{E} – 2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维列向量，且 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{\alpha}$ $=$ $1$, 则：
$$
\boldsymbol{A}^{2n} = ?
$$
二、解析 
峰式特例法
在本题中我们知道，$\boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维列向量，并且题目没有限制 $n$ 的取值范围，所以，我们可以假定 $n = 1$.
其实，一维的向量和一维的矩阵其实就是一个单独的数字。因此，对一维向量和矩阵的运算只需要遵循数字的四则运算法则即可，不需要考虑向量和矩阵独有的运算法则，可以极大的简化思考和运算过程。
首先，一个数字转置之后还是这个数字本身，所以，对于一维向量 $\boldsymbol{\alpha}$, 有：
$$
\boldsymbol{\alpha}^{\top} = \boldsymbol{\alpha}
$$
而如果一个数进行平方运算之后还等于自己，那么这个数只能是 $1$, 即：
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\alpha} = (\boldsymbol{\alpha})^{2} = 1 \\
\Rightarrow \ & \textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{\alpha} = 1 }
\end{aligned}
$$
此外，一维的单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 可以认为就是数字 $1$, 于是：
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E} – 2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} \\
\Rightarrow \ & \boldsymbol{A} = 1 – 2 \times \textcolor{lightgreen}{1} \\
\Rightarrow \ & \textcolor{orange}{ \boldsymbol{A} = -1 }
\end{aligned}
$$
于是，当 $n = 1$ 的时候，有：
$$
\begin{aligned}
& \textcolor{pink}{ \boldsymbol{A}^{2n} } \\
= \ & \boldsymbol{A}^{2} \\
= \ & (-1)^{2} \\
= \ & \textcolor{pink}{\boldsymbol{1}}
\end{aligned}
$$
由于一维的单位矩阵是 $1$, 而 $n$ 维的单位矩阵就是 $\boldsymbol{E}$, 所以：
$$
\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{A}^{2n} = \boldsymbol{E} }
$$
当然，这里假设 $n = 1$ 得出的结果存在一定的不是真实结果的可能性，因为，真实的结果可能跟维度 $n$ 有关，而假设 $n=1$ 之后，这个特性就会被掩盖。
不过，假设 $n = 1$ 所得的计算结果仍然可以作为选择题的判断依据，或者用于检验填空题中用其他方法所得的计算结果是否正确，或者在答题时间比较紧张的考场上，对于思路不明确或者计算较复杂的题目，将此方法作为快速解题的一种有效工具。
传统方法
首先，由 $\boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\alpha}$ $=$ $1$ 可知：
$$
\begin{aligned}
& \textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\alpha} = 1 } \\
\Rightarrow \ & \left( \boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\alpha} \right)^{\top} = 1^{\top} \\
\Rightarrow \ & \textcolor{violet}{ \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} = 1 }
\end{aligned}
$$
先求解 $\boldsymbol{A}^{2}$:
$$
\begin{aligned}
\textcolor{pink}{ \boldsymbol{A}^{2} } & = \left( \boldsymbol{E} – 2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} \right) \left( \boldsymbol{E} – 2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} \right) \\ \\
& = \boldsymbol{E} – 2 \cdot \textcolor{violet}{ \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} } – 2 \cdot \textcolor{violet}{ \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} } + 4 \cdot \boldsymbol{\alpha} \cdot \textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{\alpha}^{\top} \boldsymbol{\alpha} } \cdot \boldsymbol{\alpha}^{\top} \\ \\
& = \boldsymbol{E} – 2 \cdot \textcolor{violet}{ 1 } – 2 \cdot \textcolor{violet}{ 1 } + 4 \cdot \boldsymbol{\alpha} \cdot \textcolor{lightgreen}{ 1 } \cdot \boldsymbol{\alpha}^{\top} \\ \\
& = \boldsymbol{E} – 2 – 2 + 4 \cdot \textcolor{violet}{ \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top} } \\ \\
& = \boldsymbol{E} – 2 – 2 + 4 \cdot \textcolor{violet}{ 1 } \\ \\
& = \boldsymbol{E} – 2 – 2 + 4 \\ \\
& = \textcolor{pink}{\boldsymbol{E}}
\end{aligned}
$$
所以：
$$
\textcolor{springgreen}{ \boldsymbol{A}^{2n} } = \left( \textcolor{pink}{ \boldsymbol{A}^{2} } \right)^{n} = \left( \textcolor{pink}{\boldsymbol{E} } \right)^{n} = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{E}}
$$
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