一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两道题目，总结出以下两个有关自然对数 $\ln$ 的二级结论：
$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \ln x = 0; \\ \\
& \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{a} \ln x = 0, \quad (a > 0).
\end{aligned}
$$
分类： 高等数学
求一个变量的偏导数的时候，其他所有“同级变量”都可以看作常数
一、题目
已知，函数 $u$ $=$ $(x^{2} + y^{2})z^{2} + \sin x^{2}$，求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$ 及 $\frac{\partial u}{\partial z}$.
继续阅读“求一个变量的偏导数的时候，其他所有“同级变量”都可以看作常数”扩展数列或者级数的原则：一次是特例，两次成规律
一、前言
如果我们有一个数列如下：
$$
\{ x_{n} \} = \{ 1, 2, 3, \cdots, n \}
$$
那么，我们可以很容易地知道，数列 $\{ x_{n+1} \}$ 为：
$$
\{ x_{n+1} \} = \{ 1, 2, 3, \cdots, n, n+1 \}
$$
类似地，如果我们有一个级数如下：
$$
x_{n} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n
$$
那么，我们可以很容易地知道，级数 $x_{n+1}$ 为：
$$
x_{n+1} = 1 + 2 + 3 + \cdots + n + (n + 1)
$$
现在的问题是：
- 如果数列 $\{ x_{n} \}$ $=$ $\{ 1, \ \frac{1}{2}, \ \cdots, \ \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n} \}$, 则数列 $\{ x_{n+1} \} = ?$
- 如果级数 $x_{n}$ $=$ $1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} – \mathrm{e}^{n}$, 则级数 $x_{n+1} = ?$
分段函数的偏导数要分段求解
一、题目
已知，函数 $f(x, y)$ $=$ $\begin{cases} \dfrac{xy}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & (x, y)=(0, 0), \end{cases}$, 求 $f_{x}(x, y)$ 和 $f_{y}(x, y)$.
继续阅读“分段函数的偏导数要分段求解”为什么没有 $0 – 0$ 型未定式？
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」会首先给同学们介绍一下常见的未定式、以及这些常见的未定式为什么可能存在极限值，还有为什么不存在 $0 – 0$ 型的未定式.
继续阅读“为什么没有 $0 – 0$ 型未定式？”分块矩阵的常用运算汇总
次幂形式的极限未定式，一般都可以先尝试取对数
一、前言
在计算式子极限的时候，对于形如 $\infty^{0}$, $1^{\infty}$ 和 $0^{0}$ 这样的式子，我们一般都可以先尝试对其取自然对数 $\ln$, 因为这样可以将形如 $\infty^{0}$, $1^{\infty}$ 和 $0^{0}$ 极限，转换为形如 $\frac{\infty}{\infty}$ 或者 $\frac{0}{0}$ 的极限，从而就可以使用洛必达法则，或者其他求解极限的方式完成接下来的求解过程.
继续阅读“次幂形式的极限未定式，一般都可以先尝试取对数”由 $\arctan$ 的三角恒等式得到的一个等价无穷小公式
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过有关反三角函数 $\arctan$ 的一个恒等式，给出一个一般考研辅导资料中没有提到的等价无穷小公式.
继续阅读“由 $\arctan$ 的三角恒等式得到的一个等价无穷小公式”基于几何证明有关 $\arctan$ 的一个三角恒等式
一、前言
在《基于函数证明有关 $\arctan$ 的一个三角恒等式》一文中，荒原之梦考研数学借助函数这一工具，证明了下面的（反）三角函数恒等式：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\arctan \left(\frac{1}{t}\right) = \frac{\pi}{2} – \arctan t, \quad t > 0
}
$$
在本文中，荒原之梦考研数学将借助几何工具，从三角函数$\tan$和反三角函数$\arctan$的定义出发，继续证明上面的恒等式，并扩展到下面这个恒等式：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\arctan \left(\frac{1}{t}\right) = – \frac{\pi}{2} – \arctan t, \quad t < 0
}
$$
左极限和右极限的两种不同表示形式
一、前言
在做题的时候，我们有时候会遇到 $x \rightarrow 0^{+}$ 与 $x \rightarrow 0+0$ 这样的极限表示形式，那么，这两种不同的表示形式含义有区别吗？
在本文中，「荒原之梦考研数学」就为此给同学们做一个详细的讲解.
继续阅读“左极限和右极限的两种不同表示形式”求解多元函数中某个变量的偏导数时，最好先将其他变量的已知值代入原式
一、前言
在对多元函数求偏导数的时候，一般情况下，我们可以将除了被求偏导数的变量之外的其他变量的值先代入原式中（如果这些变量有具体的数值或者关系式的话），这在通常情况下都可以降低我们求偏导的运算量.
在本文中，我们就通过两道例题，来看一看提前代入与求偏导无关的变量与否对计算难易程度的影响.
继续阅读“求解多元函数中某个变量的偏导数时，最好先将其他变量的已知值代入原式”绝对收敛与条件收敛级数及其性质的向量化图形证明
一、前言
级数的收敛包含条件收敛和绝对收敛这两种可能的形式，所以，级数具有更复杂的性质与相关结论.
在本文中，「荒原之梦考研数学」会使用向量这一工具，以图形的方式，对收敛级数进行表述上的重新定义，并据此给出解释收敛级数性质的更简洁的推理与证明.
同时，在本文中，「荒原之梦考研数学」也想阐述这样一个观点，那就是：通过适当且合理的初始定义，有可能使得对问题的研究与对结论的理解变得非常直观和简洁.
继续阅读“绝对收敛与条件收敛级数及其性质的向量化图形证明”证明：绝对收敛的级数的正项和负项构成的新级数一定都收敛
一、定理
如果级数 $\sum a_{n}$ 绝对收敛，那么，构成其的正项级数 $\sum a_{n}^{+}$ 和负项级数 $\sum a_{n}^{-}$ 都收敛.
继续阅读“证明：绝对收敛的级数的正项和负项构成的新级数一定都收敛”证明：条件收敛的级数的正项和负项构成的新级数一定都发散
一、定理
如果级数 $\sum a_{n}$ 条件收敛，那么，构成其的正项级数 $\sum a_{n}^{+}$ 和负项级数 $\sum a_{n}^{-}$ 都发散.
继续阅读“证明：条件收敛的级数的正项和负项构成的新级数一定都发散”怎么把一个级数拆分成正项和负项两部分？
一、前言
在研究级数的条件收敛和绝对收敛等问题的时候，我们常常需要对级数的正项和负项分别做考虑. 那么，怎么将一个级数的正项和负项表示出来呢？级数的正项和负项和原来的级数之间又具有什么样的关系呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们做一个详细的讲解.
继续阅读“怎么把一个级数拆分成正项和负项两部分？”