一、前言 
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们介绍一下考研数学中很常用的“Heine 定理”。
继续阅读“连接函数极限与数列极限的桥梁：Heine 定理”分类： 高等数学
关于积分对函数奇偶性影响的一个扩展公式
一、前言
我们知道，一般情况下，积分会导致函数的奇偶性发生改变。例如，在下面的式子中，一般情况下，如果函数 $f(x)$ 是奇函数，则 $F(x)$ 就是偶函数；如果函数 $f(x)$ 是偶函数，则 $F(x)$ 就是奇函数：
$$
F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t
$$
但是，如果我们要分析的是下面这个式子，则函数 $f(x)$ 的奇偶性会对函数 $F(x)$ 的奇偶性产生什么样的影响呢？
$$
F(x) = \int_{0}^{x} g(x) \cdot f(t) \mathrm{~d} t
$$
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过详细的计算，给同学们讲明白这个问题。
继续阅读“关于积分对函数奇偶性影响的一个扩展公式”复合函数求偏导的两种理解方式
一、题目
已知 $u$ $=$ $\frac{x+y}{2}$, $v$ $=$ $\frac{x-y}{2}$, $w$ $=$ $z \mathrm{e}^{y}$, 取 $u$, $v$ 为新自变量，$w$ $=$ $w(u, v)$ 为新函数，请将下面的方程变换为以 $u$ 和 $v$ 为自变量的表示形式：
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2 } z}{\partial x \partial y} + \frac{\partial z}{\partial x} = z
$$
难度评级：
继续阅读“复合函数求偏导的两种理解方式”关于 $\arctan$ 的一个恒等式及其证明
一、前言
下面这个恒等式是考研数学中和高等数学中一个很重要的恒等式：
$$
\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}
$$
在本文中，荒原之梦考研数学将给同学们证明上面这个式子。
继续阅读“关于 $\arctan$ 的一个恒等式及其证明”计算含有“表述环路”的式子，首先需要“打破环路”
一、题目
已知，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且：
$$
f(1)=k \int_0^{\frac{1}{k}} x \mathrm{e}^{1-x} f(x) \mathrm{~d} x
$$
其中常数 $k>1$.
请证明存在 $\xi \in(0,1)$, 使得下式成立：
$$
f^{\prime}(\xi)=\left(1-\frac{1}{\xi}\right) \cdot f(\xi)
$$
难度评级：
继续阅读“计算含有“表述环路”的式子，首先需要“打破环路””导数等于原函数的“平移”：这样的函数一般都由三角函数构成
一、题目
已知，函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f ^{\prime} (x)$ $=$ $f(n-x)$, $f(0)$ $=$ $1$, 则：
$$
f(x) = ?
$$
难度评级：
继续阅读“导数等于原函数的“平移”：这样的函数一般都由三角函数构成”明修栈道，暗度陈仓：化简对数函数先凑乘法
一、题目
$$
I = \int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} \ln ( \sin x ) \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“明修栈道，暗度陈仓：化简对数函数先凑乘法”利用导数的定义求解式子的极限
一、题目
请求解下面式子的极限：
$$
\begin{aligned}
K_{1} & = \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ a^{x} – x^{a}}{x-a} \\ \\
K_{2} & = \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ x^{x} – a^{a} }{x-a} \\ \\
K_{3} & = \lim_{x \rightarrow a } \frac{\tan x – \tan a}{ x^{a} – a^{a} }
\end{aligned}
$$
难度评级：
继续阅读“利用导数的定义求解式子的极限”给对数函数的变量“摘指数”的时候要注意指数的“作用范围”
求三角函数的 $n$ 阶导：先降幂
一、题目
已知 $y(x)$ $=$ $\sin^{3} x$ $+$ $\sin x \cos x$, 则：
$$
y^{(n)} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“求三角函数的 $n$ 阶导：先降幂”三角函数的三倍角公式
一、前言
三角函数的二倍角公式（$\sin 2x$, $\cos 2x$, $\tan 2x$, $\cot 2x$）很常用，三角函数的三倍角公式在求解一些题目的时候，也是一个非常有用的工具。在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们整理出一份常用的三角函数三倍角公式。
继续阅读“三角函数的三倍角公式”平方运算不会改变大于或等于 $0$ 的数字间的大小关系
一、题目
请证明下面这个数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 的极限存在，并求解其极限：
$$
\sqrt{2}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2}}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \quad \cdots
$$
难度评级：
继续阅读“平方运算不会改变大于或等于 $0$ 的数字间的大小关系”升级版的点火公式
对式子的等价转换除了有先加后减，还有先开方再平方
一、题目
$$
I = \int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x \sqrt{x-1}} \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“对式子的等价转换除了有先加后减，还有先开方再平方”用归纳法求函数的 $n$ 阶导数（附 $\sin$ 与 $\cos$ 的 $n$ 阶导公式）
一、题目
求下面函数的 $n$ 阶导数：
$$
\begin{aligned}
y_{1} & = \sin x \\
y_{2} & = \cos x \\
y_{3} & = \frac{1}{x + 1}
\end{aligned}
$$
难度评级：
继续阅读“用归纳法求函数的 $n$ 阶导数（附 $\sin$ 与 $\cos$ 的 $n$ 阶导公式）”