高等数学

2022考研数二第14题解析：三阶常系数线性齐次微分方程的求解

一、题目

$y^{\prime\prime\prime} – 2 y^{\prime\prime} + 5 y^{\prime} = 0$, 通解 $y\left(x\right) = \underline{\qquad\qquad}$.

常用反三角函数的取值对照表

	$-1$	$\frac{- \sqrt{3}}{2}$	$\frac{- \sqrt{2}}{2}$	$\frac{-1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\arcsin$	$\frac{- \pi}{2}$	$\frac{- \pi}{3}$	$\frac{- \pi}{4}$	$\frac{- \pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\arccos$	$\pi$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$	$0$

	$-\sqrt{3}$	$-1$	$\frac{-1}{\sqrt{3}}$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$
$\arctan$	$\frac{- \pi}{3}$	$\frac{- \pi}{4}$	$\frac{- \pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$
$\operatorname{arccot}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$

上面四个反三角函数的取值范围为：

$$
\begin{aligned}
\arcsin x & \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \\
\arccos x & \in \left[ 0, \pi \right] \\
\arctan x & \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \\
\operatorname{arccot} x & \in \left( 0, \pi \right)
\end{aligned}
$$

2022考研数二第13题解析：定积分的计算

一、题目

$\int_{0}^{1} \frac{2 x + 3}{x^{2} – x + 1} \mathrm{~d} x = \underline{\qquad \qquad}$.

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2022考研数二第12题解析：隐函数求导

一、题目

已知函数 $y = y \left(x\right)$ 由方程 $x^{2} + x y + y^{3} = 3$ 确定，则 $y^{\prime\prime}\left(1\right) = \underline{\qquad\qquad}$.

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2022考研数二第11题解析：极限的计算、三角函数、常用的等价无穷小

一、题目

$\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1 + \mathrm{e}^{x}}{2}\right)^{\cot x} = \underline{\qquad\qquad}$.

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峰图 | 基于作用力分析的正态分布概率形态形成机制猜想

一、前言

在本文中，「荒原之梦」将结合实际的概率事件，通过形象化的作用力分析的方法，尝试解释正态分布概率形态的形成机制，并基于此，对正态分布型概率事件内部对象的活动性质以及不同正态分布型概率事件之间可能的演变机制给出一个猜想。

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对于 0 而言，正负都一样，左右不一样

一、前言

下面这些量相等吗：

$$
0, \ -0, \ +0, \ 0^{-}, \ 0^{+}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将对这一问题给出讲解.

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“只有”、“只有当”和“当且仅当”的逻辑区别

一、前言

在数学和逻辑表达中，条件关系通常分为三类：充分条件、必要条件和充要条件. 而在具体描述这些条件关系的时候，我们通常会使用诸如“只有”、“只有当”和“当且仅当”等词语，理解这些词语的准确而含义，有助于我们准确判断命题之间的逻辑关系.

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们详细讲解一下这些常用的条件关系词语的含义.

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2022考研数二第07题解析：定积分比大小

一、题目

已知 $I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{x}{2\left(1 + \cos x\right)} \mathrm{~d}x$, $I_{2} = \int_{0}^{1} \frac{\ln\left(1 + x\right)}{1 + \cos x} \mathrm{~d}x$, $I_{3} = \int_{0}^{1} \frac{2x}{1 + \sin x} \mathrm{~d}x$, 则 $\left( \quad \right)$

»A« $I_{1} < I_{2} < I_{3}$

»B« $I_{2} < I_{1} < I_{3}$

»C« $I_{1} < I_{3} < I_{2}$

»D« $I_{3} < I_{2} < I_{1}$

难度评级：

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峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数

一、题目

已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $-\frac{\pi}{2} \leqslant x_{n} \leqslant \frac{\pi}{2}$, 则 $\left( \quad \right)$

»A« 当 $\lim\limits_{n \to \infty} \cos \left(\sin x_{n}\right)$ 存在时，$\lim\limits_{n \to \infty} x_{n}$ 存在

»B« 当 $\lim\limits_{n \to \infty} \sin \left(\cos x_{n}\right)$ 存在时，$\lim\limits_{n \to \infty} x_{n}$ 存在

»C« 当 $\lim\limits_{n \to \infty} \cos \left(\sin x_{n}\right)$ 存在时，$\lim\limits_{n \to \infty} \sin x_{n}$ 存在，但 $\lim\limits_{n \to \infty} x_{n}$ 不一定存在

»D« 当 $\lim\limits_{n \to \infty} \sin \left(\cos x_{n}\right)$ 存在时，$\lim\limits_{n \to \infty} \cos x_{n}$ 存在，但 $\lim\limits_{n \to \infty} x_{n}$ 不一定存在

二、解析

解法 1：特例法

当前解法的计算过程需要用到：《常用三角函数的取值对照表》

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 首先，令：

$$
x_{n} = \left(-1\right)^{n} \cdot \frac{\pi}{4}
$$

则可知，数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 发散.

在本题中，可以令 $x_{n} = \left(-1\right)^{n} \cdot \frac{\pi}{2}$, 计算方式和逻辑与令 $x_{n} = \left(-1\right)^{n} \cdot \frac{\pi}{4}$ 是一样的.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 此时，$\lim\limits_{n \to \infty} \cos \left(\sin x_{n}\right)$ 收敛（极限存在）：

$$
\lim_{n \to \infty} \cos \left(\sin x_{n}\right) = \cos \frac{\sqrt{2}}{2}
$$

所以，»A« 选项错误 .

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 又因为，此时 $\lim\limits_{n \to \infty} \sin \left(\cos x_{n}\right)$ 收敛（极限存在）：

$$
\lim_{n \to \infty} \sin \left(\cos x_{n}\right) = \sin \frac{\sqrt{2}}{2}
$$

所以，»B« 选项错误 .

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 又因为，$\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \neq \sin \left( \frac{-\pi}{4} \right)$, 即 $\lim\limits_{n \to \infty} \sin \left(\left(-1\right)^{n} \cdot \frac{\pi}{4}\right)$ 发散（极限不存在）：

$$
\lim_{n \to \infty} \sin \left(\left(-1\right)^{n} \cdot \frac{\pi}{4}\right)
$$

所以，»C« 选项错误 .

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 又因为，$\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left( \frac{- \pi}{4} \right)$, 即 $\lim\limits_{x \to \infty} \cos \left( \left( -1 \right)^{n} \cdot \frac{\pi}{4} \right)$ 收敛（极限存在）

所以，»D« 选项正确 .

事实上，对于 »D« 选项，当 $n \to \infty$ 的时候，我们也可以由 $\sin \left( \cos x_{n} \right)$ 的极限存在，推导出 $\cos x_{n}$ 的极限存在：

由 $-\frac{\pi}{2} \leqslant x_{n} \leqslant \frac{\pi}{2}$ 可知：

$$
0 \leqslant \cos x_{n} \leqslant 1
$$

又因为 $\sin x$ 在区间 $\left[ 0, 1 \right]$ 上严格单调递增，于是，根据数列极限存在的“单调有界准则”可知，当 $n \to \infty$ 的时候，$\sin \left( \cos x_{n} \right)$ 的极限存在.

又因为，严格单调递增的函数一定存在连续反函数，且复合函数 $\sin \left( \cos x_{n} \right)$ 的反函数为：

$$
\arcsin \left[ \sin \left( \cos x_{n} \right) \right] = \cos x_{n}
$$

由于函数的自变量和函数是一一对应的，因此，对于单调的连续函数而言，函数值收敛的时候，自变量一定也收敛，所以，当 $n \to \infty$ 的时候，由 $\sin \left( \cos x_{n} \right)$ 收敛可知，$\cos x_{n}$ 一定也收敛，因此，当 $\lim\limits_{n \to \infty} \sin \left(\cos x_{n}\right)$ 存在时，$\lim\limits_{n \to \infty} \cos x_{n}$ 也存在.

需要注意的是，虽然 $\cos x_{n}$ 的反函数是 $x_{n}$, 但由于 $\cos x_{n}$ 在区间 $\left[ \frac{- \pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ 上不是严格单调的函数，所以，当 $n \to \infty$ 的时候，由 $\cos x_{n}$ 的极限存在，无法推导出 $x_{n}$ 的极限也存在的结论.

解法 2：特例法

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于 »A« 选项和 »B« 选项：

令 $x_{n} = \begin{cases} 1, & n \text{ 为奇数} \\ -1, & n \text{ 为偶数} \end{cases}$, 则：

在 $\lim_{n \to \infty} \cos \left( \sin x_{n} \right)$ 中，若设 $\sin \left( 1 \right) = z$, 则 $\sin \left( -1 \right) = -z$, 同时，$\cos \left( z \right) = \cos \left( -z \right)$, 所以，此时，$\lim_{n \to \infty} \cos \left( \sin x_{n} \right)$ 的极限存在；
在 $\lim_{n \to \infty} \sin \left( \cos x_{n} \right)$ 中，若设 $\cos \left( 1 \right) = k$, 则 $\cos \left( -1 \right) = k$, 同时，$\sin \left( k \right) = \sin \left( k \right)$, 所以，此时，$\lim_{n \to \infty} \sin \left( \cos x_{n} \right)$ 的极限存在.

但是，当 $x_{n} = \begin{cases} 1, & n \text{ 为奇数} \\ -1, & n \text{ 为偶数} \end{cases}$ 时，$\lim\limits_{n \to \infty} x_{n}$ 不存在，因此，»A« 选项和 »B« 选项错误.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于 »C« 选项：

由于函数 $y = \sin x$ 在区间 $\left[ – \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ 上单调增加且连续，所以，当 $\lim\limits_{n \to \infty} \sin x_{n}$ 存在时，$\lim\limits_{n \to \infty} x_{n}$ 一定存在，因此，»C« 错误 .

在本解法中，如果令 $x_{n} = \begin{cases} -1, & n \text{ 为奇数} \\ 1, & n \text{ 为偶数} \end{cases}$, 即令 $x_{n} = \left( -1 \right)^{n}$, 对应的解析步骤与上面基本一致.

考虑到 $\cos x$ 在区间 $\left[ \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ 上是一个偶函数，$\sin x$ 在区间 $\left[ \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ 上是一个奇函数，所以，我们在设 $x_{n}$ 的特例的时候，只要满足下面的形式就可以：

$$x_{n} = \left( -1 \right)^{n} \cdot a, \ a \in \left[ \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$$

综上可知，»D« 选项正确 .

解法 3：“十字”极限判定法

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 观察可知，本题中极限存在性的判定，实际上涉及 $y = \cos \left( \sin \left( x_{n} \right) \right)$, $y = \sin \left( \cos \left( x_{n} \right) \right)$, $y=\sin x_{n}$ 和 $y = \cos x_{n}$ 四个函数，对应的函数图象示意图如图 01、02、03、04 所示（在稿纸上手绘的时候，只需要能绘制出这些函数图象的大致走向和一些关键点，如交点、拐点等即可）：

峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数 | 荒原之梦考研数学 | 图 01. — 图 01. $y = \cos \left( \sin \left( x_{n} \right) \right)$.

峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数 | 荒原之梦考研数学 | 图 02. — 图 02. $y = \sin \left( \cos \left( x_{n} \right) \right)$.

峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数 | 荒原之梦考研数学 | 图 03. — 图 03. $y = \cos \left( \sin \left( x_{n} \right) \right)$ 和 $y = \sin x_{n}$.

峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数 | 荒原之梦考研数学 | 图 04. — 图 04. $y = \sin \left( \cos \left( x_{n} \right) \right)$ 和 $y = \cos x_{n}$.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 在本题中，「荒原之梦考研数学」就会结合上面的函数图象，以及“十字”极限判定法来判断本题中四个选项的对错——

根据函数图象的性质可知，函数的极限存在，就是在某一个极限过程中，函数值都位于一条定义域内的水平直线上，如图 05 所示的每条水平直线都代表函数的一个极限（但如果这两个水平直线同时存在，则这个函数此时就不存在极限）：

峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数 | 荒原之梦考研数学 | 图 05. — 图 05.

同样，根据函数图象的性质可知，函数自变量的极限存在，就是在某一个极限过程中，自变量的取值都位于一条定义域内的竖直直线上，如图 06 所示的每条竖直直线都代表函数自变量的一个极限（但如果这两个竖直直线同时存在，则这个函数自变量此时就不存在极限）：

峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数 | 荒原之梦考研数学 | 图 06. — 图 06.

在本题中，作为函数自变量的数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的极限过程 $n \to \infty$ 并不是说数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的取值就要一直向横坐标的左右两侧无限延伸——$n \to \infty$ 只是说数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的下标 $n$ 一直在“变大”，但下标“变大”并不意味着数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 本身“变大”或者“变小”，数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 本身的取值可以是任意的，也可以是遵循其他的某种特定规律，就像前面的解法 1 和解法 2 中的 $\left\{x_{n}\right\}$ 所遵循的规律一样.

于是可知，如果一个函数和函数自变量的极限取值如图 07 所示，那么，这个函数的极限就是不存在的（因为不止一条横线），自变量的极限也是不存在的（因为不止一条竖线）：

峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数 | 荒原之梦考研数学 | 图 07. — 图 07.

如果一个函数和函数自变量的极限取值如图 08 所示，那么，这个函数的极限就是存在的（因为只有一条直线），自变量的极限则是不存在的（因为不止一条竖线）：

峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数 | 荒原之梦考研数学 | 图 08. — 图 08.

当然，根据函数的定义可知，一个自变量只能对应一个函数值，但是，如果图 09 中的两条横线对应两个函数的极限，那么，就说明这两个函数的极限是存在的（因为每个函数都只有一条直线），函数自变量的极限也是存在的（因为只有一条竖线）：

峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数 | 荒原之梦考研数学 | 图 09. — 图 09.

对于一个函数而言，如果函数的极限和函数自变量的极限都是存在的，那么，对应的图形就是如图 10 所示的“十字”，这也是“十字”极限判定法名称的来源：

峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数 | 荒原之梦考研数学 | 图 10. — 图 10.

当然，“十字”极限判定法中的“横线”和“竖线”可以是某个确定位置的横线和竖线，也可以只是某个极限位置的横线和竖线.

接下来，我们就使用「荒原之梦考研数学」在上面构建的这个“十字”极限判定法对题目中的四个选项做逐一的判定——

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »A« 当 $\lim\limits_{n \to \infty} \cos \left(\sin x_{n}\right)$ 存在时，$\lim\limits_{n \to \infty} x_{n}$ 存在

如图 11 所示，我们用位于区间 $\left[ \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ 内的横线表示 $y = \cos \left(\sin x_{n}\right)$ 的极限存在，但此时从该横线与 $y = \cos \left(\sin x_{n}\right)$ 的函数图象的交点可以引出两条竖线，因此，该函数的自变量 $x_{n}$ 的极限不存在，»A« 错误：

峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数 | 荒原之梦考研数学 | 图 11. — 图 11.

在上面的图 11，以及接下来的图 12 到图 18 中，示意图中的位于坐标轴 $Y$ 轴左侧的灰色虚线竖线表示 $x = \frac{-\pi}{2}$; 示意图中的位于坐标轴 $Y$ 轴左右侧的灰色虚线竖线表示 $x = \frac{\pi}{2}$.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »B« 当 $\lim\limits_{n \to \infty} \sin \left(\cos x_{n}\right)$ 存在时，$\lim\limits_{n \to \infty} x_{n}$ 存在

如图 12 所示，我们用位于区间 $\left[ \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ 内的横线表示 $y = \sin \left(\cos x_{n}\right)$ 的极限存在，但此时从该横线与 $y = \sin \left(\cos x_{n}\right)$ 的函数图象的交点可以引出两条竖线，因此，该函数的自变量 $x_{n}$ 的极限不存在，»B« 错误：

峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数 | 荒原之梦考研数学 | 图 12. — 图 12.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »C« 当 $\lim\limits_{n \to \infty} \cos \left(\sin x_{n}\right)$ 存在时，$\lim\limits_{n \to \infty} \sin x_{n}$ 存在，但 $\lim\limits_{n \to \infty} x_{n}$ 不一定存在

如图 13 所示，在区间 $\left[ \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ 内，我们绘制一条横线，表示极限 $\lim\limits_{n \to \infty} \cos \left(\sin x_{n}\right)$ 存在：

峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数 | 荒原之梦考研数学 | 图 13. — 图 13.

图 13 中的横线，与函数 $y = \cos \left(\sin x_{n}\right)$ 的图象产生了两个交点，对应两条竖线，所以极限 $\lim\limits_{n \to \infty} x_{n}$ 此时不存在，如图 14 所示：

峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数 | 荒原之梦考研数学 | 图 14. — 图 14.

但是，如果我们将横线画在函数 $y = \cos \left(\sin x_{n}\right)$ 与 $y = \sin x_{n}$ 图象的交点，就会产生“十字”，此时，极限 $\lim\limits_{n \to \infty} \cos \left(\sin x_{n}\right)$, $\lim\limits_{n \to \infty} \sin x_{n}$ 和 $\lim\limits_{n \to \infty} x_{n}$ 都存在，如图 15 所示：

峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数 | 荒原之梦考研数学 | 图 15. — 图 15.

综合来看，»C« 错误，因为极限 $\lim\limits_{n \to \infty} \sin x_{n}$ 不一定存在.

“不一定存在”包含“一定不存在”和“可能存在”，但不包含“一定存在”.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »D« 当 $\lim\limits_{n \to \infty} \sin \left(\cos x_{n}\right)$ 存在时，$\lim\limits_{n \to \infty} \cos x_{n}$ 存在，但 $\lim\limits_{n \to \infty} x_{n}$ 不一定存在

如图 16 所示，在区间 $\left[ \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ 内，我们绘制一条横线，表示极限 $\lim\limits_{n \to \infty} \sin \left(\cos x_{n}\right)$ 存在：

峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数 | 荒原之梦考研数学 | 图 16. — 图 16.

图 16 中的横线，与函数 $y = \sin \left(\cos x_{n}\right)$ 的图象产生了两个交点，对应两条竖线，所以极限 $\lim\limits_{n \to \infty} x_{n}$ 此时不存在，如图 17 所示：

峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数 | 荒原之梦考研数学 | 图 17. — 图 17.

接着，图 17 中的两条竖线与 $y = \cos x_{n}$ 的图象产生了两个交点，对应一条横线，因此，极限 $\lim\limits_{n \to \infty} \cos x_{n}$ 存在，如图 18 所示：

峰图 | 2022考研数二第06题解析：数列的极限、三角函数的性质、复合函数 | 荒原之梦考研数学 | 图 18. — 图 18.

综上可知，»D« 选项正确 .

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

线性代数

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

特别专题

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

常用三角函数的取值对照表

	$0^{\circ}$	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$	$90^{\circ}$	$120^{\circ}$	$135^{\circ}$	$150^{\circ}$	$180^{\circ}$
	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2 \pi}{3}$	$\frac{3 \pi}{4}$	$\frac{5 \pi}{6}$	$\pi$
$\sin \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\cos \alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{-1}{2}$	$\frac{-\sqrt{2}}{2}$	$\frac{-\sqrt{3}}{2}$	$-1$
$\tan \alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	未定义	$-\sqrt{3}$	$-1$	$\frac{-\sqrt{3}}{3}$	$0$
$\cot \alpha$	未定义	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$\frac{-\sqrt{3}}{3}$	$-1$	$-\sqrt{3}$	未定义

2022考研数二第05题解析：反常积分敛散性、敛散性的比值判别法

$\textcolor{#D29249}{\blacklozenge}$ 由于本文包含很多公式，所以建议使用电脑或者平板这样的宽屏幕设备查看。
$\textcolor{#D29249}{\blacklozenge}$ 若使用手机发现显示有问题，建议切换到手机的横屏模式查看。
$\textcolor{#D29249}{\blacklozenge}$ 如果发现问题或者需要帮助，可以联系我们。

一、题目

设 $p$ 为常数，若反常积分 $\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^{p} \left(1 – x\right)^{1 – p}} \mathrm{~d}x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是 $\left( \quad \right)$

»A« $\left(-1, 1\right)$

»B« $\left(-1, 2\right)$

»C« $\left(-\infty, 1\right)$

»D« $\left(-\infty, 2\right)$

难度评级：

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反常积分敛散性三个常用公式中第二个公式的推论公式

一、前言

由《反常积分敛散性的三个常用公式及推导证明》可知，判断反常积分敛散性三个常用公式中的第二个公式为：

$$
a > 0 \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x \begin{cases}
\text{收敛}, & p > 1 \\
\text{发散}, & p \leqslant 1
\end{cases}
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于上面的公式，推导出另一个判断反常积分敛散性的常用公式.

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