分类： 高等数学

一、例题：对下面的函数求导

$f(x)$ $=$ $\sqrt{1+x}$ $+$ $\sqrt{1-x}$ $-$ $2$

二、错误的求导过程

$f^{\prime }(x)$ $=$ ${(\sqrt{1+x})}^{\prime }$ $+$ ${(\sqrt{1–x})}^{\prime }$ $+$ $2^{\prime }$ $=$ ${((1+x{)}^{\frac{1}{2}})}^{\prime }$ $+$ ${((1–x{)}^{\frac{1}{2}})}^{\prime }$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ $=$ $\frac{1}{2\sqrt{1+x}}$ $+$ $\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$

上面这个计算过程是错的，错误的原因是在计算 $\sqrt{1+x}$ 的导数时把 $1+x$ 视作了自变量，也就是说把 $1$ $+$ $x$ 视作了求导对象；而在对 $\sqrt{1-x}$ 求导时，又把 $1$ $-$ $x$ 看作了求导自变量。

很显然，一个二维函数中不可能有两个不同的自变量，而且根据约定可知，当式子中出现 $f(x)$ 或者 $li{m}_{x\to 0}$ 时，就表明这个式子中的自变量是 $x$ 且求导也要对 $x$ 求导。

三、正确的求导过程

这里我们可以使用复合函数求导的链式法则计算本例题，复合函数的链式求导法则如下：

设 $y$ $=$ $f(u)$, $u$ $=$ $\mu (x)$, 如果 $\mu (x)$ 在 $x$ 处可导，$f(x)$ 在对应点 $u$ 处可导，则复合函数 $y$ $=$ $f[\mu (x)]$ 在 $x$ 处可导，且有：

$\frac{dy}{dx}$ $=$ $\frac{dy}{du}$ $\frac{du}{dx}$ $=$ $f^{\prime }[\mu (x)]{\mu }^{\prime }(x)$

于是，对于例题的正确求导过程如下：

$f^{\prime }(x)$ $=$ ${(\sqrt{1+x})}^{\prime }$ $+$ ${(\sqrt{1–x})}^{\prime }$ $+$ $2^{\prime }$ $=$ ${((1+x{)}^{\frac{1}{2}})}^{\prime }$ $+$ ${((1–x{)}^{\frac{1}{2}})}^{\prime }$ $=$ $\frac{1}{2}(1+x{)}^{-\frac{1}{2}}$ $+$ $\frac{1}{2}$ $(1–x{)}^{-\frac{1}{2}}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $(1+x{)}^{-\frac{1}{2}}\times {(x)}^{\prime }$ $+$ $\frac{1}{2}$ $(1–x{)}^{-\frac{1}{2}}\times {(-x)}^{\prime }$ $=$ $\frac{1}{2\sqrt{1+x}}–\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$