荒原之梦，作者荒原之梦

一、题目

请证明下面的定积分的性质：

$\begin{aligned} \int_{a}^{b} 1 d x = & b - a \\ \int_{a}^{b} k f (x) d x = & k \int_{a}^{b} f (x) d x \end{aligned}$

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每日箴言：永远心怀敬畏，因为每一刻都是馈赠

人类客居于地球，享用着地球亿万年累积下的财富、刚刚好合适的阳光、刚刚好合适的淡水，以及刚刚好合适的昼夜更替——这里的一切，如同精密的时钟，每一秒都恰到好处，每一毫都精美绝伦。

2024 年 09 月 04 日

每日箴言：每天一句话，为梦想加油！
专属福利：全部加入 考研数学思维导图 VIP 的同学都将在年底免费获赠《荒原之梦 2025 年度每日箴言合集》电子版一份。

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描述：在联合轮渡公司大楼上拍摄的美国旧金山 1906 年大地震过后的废墟。这场地震发生于当地时间 1906 年 04 月 18 日清晨 05 点 12 分左右，里氏震级为 7.8 级，震中位于接近旧金山的圣安地列斯断层上，从俄勒冈州到加利福尼亚州的洛杉矶，甚至是位于内陆的内华达州都有震感。这场地震以及由此导致的大火，对旧金山造成了严重的破坏。
作者：未知
授权协议：版权过期的美国作品，属于公有领域。
拍摄时间（当地时间）：
相机坐标：西经 122° 23′ 36.88″, 北纬 37° 47′ 43.56″
来源：wikipedia.org

事件的对立操作将使得事件的从属关系发生逆转

一、题目

设 $A$ 和 $B$ 是任意两个随机事件，则与 $A \cup B$ $=$ $B$ 不等价的是是哪一项？

[A]. $\bar{B}$ $\subset$ $\bar{A}$

[B]. $A$ $\subset$ $B$

[C]. $\bar{A} B$ $=$ $\emptyset$

[D]. $A \bar{B}$ $=$ $\emptyset$

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每日箴言：人生需要丰富，也需要简化

人生的阅历需要丰富，人生的感悟需要丰富，但人生的羁绊需要简化，装备有限且合适的资源，才能更轻松地前行，更专心地体验。

2024 年 09 月 03 日

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描述：奥地利的黑湖。
作者：Kmarka
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2005 年 10 月 09 日 12 时 17 分
相机坐标：东经 13° 52′ 55.97″, 北纬 46° 55′ 12.92″
来源：wikipedia.org

利用定积分的定义计算两个简单的定积分

一、题目

定积分的定义是考研数学中经常考察的一个内容。但是，在真正的考试题中，我们能遇到的要使用定积分的定义求解的题目，一般是不能用一般的积分公式计算的，这样的题目不利于我们从更多的角度把握用定积分的定义解题这一方法的全貌。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」将利用定积分的定义，给同学们演示对下面这两个比较简单的定积分进行求解的过程：

$\begin{aligned} I_{1} = & \int_{0}^{1} e^{x} d x \\ I_{2} = & \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x \end{aligned}$

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每日箴言：城市是不会睡觉的巨人

城市是不会睡觉的巨人，灯光与声音，仿佛永远也不会止息，永远在流动，永远在运转，吞噬着能量，也生产着一个又一个可能荒诞，也可能辉煌的梦想。

2024 年 09 月 02 日

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描述：圣地亚哥的城市夜景。
作者：Rufustelestrat
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2006 年 11 月 06 日 17 时 48 分
相机坐标：西经 117° 10′ 48″, 北纬 32° 43′ 38″
来源：wikipedia.org

求和符号中的 $i$ 和 $n$ 有啥区别？

一、前言

求和符号是我们在考研数学中很常见到的一个符号，常见的求和符号写法如下：

$\sum_{i = 1}^{n = 16}$

或者：

$lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n}$

那么，我们应该怎么理解上面这个求和符号呢？以及该怎么让求和符合参与到具体的计算中呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解一下这个问题。

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每日箴言：山河是最美的图腾

所有的山川都如此巍峨壮美，因为所有的山川都哺育着一方水土，养育着一方儿女，守护着一方安宁——所有的山川都是大自然的馈赠，无私、无畏、无上。

2024 年 09 月 01 日

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描述：西班牙卞蒂斯山上的小马，远方是艾阿科·哈里阿山。
作者：Mikel Ortega
授权协议：本文件采用知识共享署名-相同方式共享 2.0 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2006 年 10 月 08 日
相机坐标：西经 1° 48′ 19.3″, 北纬 43° 14′ 44.53″
来源：wikipedia.org

用定积分的定义求解时怎么进行积分区间的分割？

一、前言

在考研数学中，用定积分的定义求解某些定积分或者数列的值，是一种很常见的考题。

假如我们要用定积分的定义求解区间 $[a, b]$ 上的积分值，我们应该以什么样的方式划分 $[a, b]$ 这个区间呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲一讲上面这个问题。

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每日箴言：微风吹散了多少曾经

荒原之梦考研数学 | 每日箴言 | 图片来自：ESO/Yuri Beletsky

你是否还记得
课桌旁的木窗

还有那窗外
茂密的绿叶

每一片叶子
都欢欣活跃

清澈的阳光
浸润了整个天空

你是否还记得
最后一次坐在那窗前
看着那样的景色
吹着那样的微风
是什么时候？

也许，是一个夏日的午后
也许，是一个清晨的课间

也许
是在某天午睡的梦里

从此
那一阵微分
带着那个年龄的你
带着那些时光里的一切

逐渐模糊
逐渐破碎

永远的
沉入了记忆

2024 年 08 月 31 日

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描述：天文学家正在智利帕瑞纳天文台用激光导引星设施观测银河系。图中经过精确调谐的激光可以激发地球大气层中的钠原子层，这些钠原子被激光激发后就会开始闪烁，形成的亮点可以作为一个人造参照物，用来纠正地球大气层导致的图像模糊，使得研究人员可以更好的观测银河系。
作者：ESO/Yuri Beletsky
授权协议：本文件采用知识共享署名 4.0 国际许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2010 年 08 月中旬
相机坐标：西经 70° 24′ 15″, 南纬 24° 37′ 38″
来源：wikipedia.org

含有对数函数的分式怎么计算

一、前言

我们知道，在题目的计算过程中，如果式子是分式，就有可能不利于我们进行计算。所以，为了简化计算，我们一般更倾向于简化分式中的分母，从而使该分式更接近于一般的式子，例如简化分母的次幂或者降低分母的复杂度。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给大家带来对于含有对数函数的分式的一种“去分母”解法。

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每日箴言：努力煽动你的翅膀，哪管是否能飞得高昂

做好腾起的姿态，煽动向上的翅膀，在地面，在山巅，在晴空中云层之上，在风雨雷电的伴奏之中，努力飞翔！

2024 年 08 月 30 日

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描述：一只南极帝企鹅正在跳出水面。
作者：Antarctica
授权协议：本文件采用知识共享署名 2.0 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2013 年 12 月 03 日 08 时 31 分 01 秒
相机坐标：西经 47° 31′ 02.1″, 南纬 77° 43′ 13.34″
来源：wikipedia.org

级数 $lim_{n \to \infty}$ $\sum_{n = 1}^{n}$ $e^{\frac{i}{n}}$ 求和怎么计算？

一、题目

$I = lim_{n \to \infty} \sum_{n = 1}^{n} e^{\frac{i}{n}} = ?$

难度评级：

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每日箴言：做好自己，才能做好未来

对于个体而言，所有事情的始发站和终点站都是自己——所以，做好自己该做的事情，是过去、现在和未来所有一切的基础。

2024 年 08 月 29 日

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描述：生活在南极洲的阿德利企鹅。
作者：Jason Auch
授权协议：本文件采用知识共享署名 2.0 通用许可协议授权。
拍摄时间（当地时间）：2008 年 12 月 30 日 05 时 23 分 18 秒
相机坐标：未知
来源：wikipedia.org

遇到比较绕的题目，最好的办法就是先将其翻译成纯粹的数学语言

一、题目

已知 $f (x)$ 的一个原函数为 $\frac{\cos x}{x}$ , 则：

$I = \int x f^{'} (x) d x$

难度评级：

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作者：荒原之梦

用定积分的定义证明两个定积分的常用性质

一、题目

每日箴言：永远心怀敬畏，因为每一刻都是馈赠

事件的对立操作将使得事件的从属关系发生逆转

一、题目

每日箴言：人生需要丰富，也需要简化

利用定积分的定义计算两个简单的定积分

一、题目

每日箴言：城市是不会睡觉的巨人

求和符号中的 $i$ 和 $n$ 有啥区别？

一、前言

每日箴言：山河是最美的图腾

用定积分的定义求解时怎么进行积分区间的分割？

一、前言

每日箴言：微风吹散了多少曾经

含有对数函数的分式怎么计算

一、前言

每日箴言：努力煽动你的翅膀，哪管是否能飞得高昂

级数 $lim_{n \to \infty}$ $\sum_{n = 1}^{n}$ $e^{\frac{i}{n}}$ 求和怎么计算？

一、题目

每日箴言：做好自己，才能做好未来

遇到比较绕的题目，最好的办法就是先将其翻译成纯粹的数学语言

一、题目