计算行列式 $\begin{vmatrix} \boldsymbol{D} \end{vmatrix}$ $=$ $\begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \gamma & \alpha & \beta \\ \beta & \gamma & \alpha \end{vmatrix}$, 其中 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 是方程 $x^{3} + px + q$ $=$ $0$ 的三个根.
继续阅读“使用韦达定理求解行列式的值”韦达定理描述了多项式方程的根与方程系数之间的关系. 由于该定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达首次发现，因此得名.
在「荒原之梦考研数学」的《齐次函数详解与示例》这篇文章中，我们以定义和示例的方式理解了什么是齐次函数，在本文中，我们将通过四则运算的运算律和峰式图两种方式，来深入理解齐次函数的本质机制.
继续阅读“峰图 | 齐次函数本质机制的两种解释”$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 2 – \left(\frac{1+\cos x}{2}\right)^{x} – \left[\frac{1+\ln(1+x)}{1+x}\right]^{x}}{x^{3}} = ?
$$
设 $y_{1} \left( x \right)$, $y_{2} \left( x \right)$ 是某二阶非齐次线性微分方程的两个特解，若常数 $\lambda$, $\mu$ 使得 $2\lambda y_{1} \left( x \right) + \mu y_{2} \left( x \right)$ 是该方程的解，$\lambda y_{1} \left( x \right) – 2\mu y_{2} \left( x \right)$ 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）
»A« $\lambda = \frac{1}{5}$, $\mu = \frac{2}{5}$
»B« $\lambda = \frac{2}{5}$, $\mu = \frac{1}{5}$
»C« $\lambda = \frac{1}{4}$, $\mu = \frac{1}{2}$
»D« $\lambda = \frac{1}{2}$, $\mu = \frac{1}{4}$
如果一个矩阵是幂零矩阵，那么，无论经过怎么样的初等变换，这个矩阵都是幂零矩阵吗？
反过来说，如果一个矩阵不是幂零矩阵，那么，无论经过怎么样的初等变换，这个矩阵都不是幂零矩阵吗？
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们深入解析这一问题.
继续阅读“初等变换是否会改变矩阵的幂零属性？”什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细介绍一下考研数学线性代数中的“幂零矩阵”.
同时，在本文中，「荒原之梦考研数学」还会通过“峰图（峰式图）”的方式证明为什么有些矩阵是（不是）幂零矩阵，同时以形象的方式展示幂零矩阵的“塌缩”机制.
继续阅读“峰图 | 基于“动线交点”理论理解幂零矩阵的“塌缩”机制”对于考研数学经常考察的微分方程而言，无论是齐次还是非齐次的线性微分方程都存在通解，那么，非线性的微分方程存在通解吗？
在本文中，我们就来回答一下这个问题，让同学们对非线性微分方程的性质有一个更加深入的理解.
继续阅读“非线性微分方程会存在通解吗？”由于在通解的存在性这一问题上，常微分方程和偏微分方程具有同样的性质. 所以，本文中对非线性微分方程的讨论，主要以非线性常微分方程为例.
网上有很多教大家怎么保持专注的方法，但是，其实很多方法都是在“堵”，而不是在“疏”——
例如，要保持桌面的整洁、要断开网络连接、要把手机放远一点等等。
可以看到，上面这些方法事实上都是在试图“堵”住我们想要玩耍放松的意图。
但是，谁不想玩一会，放松一下呢？
所以，为了保持专注，我们不能一味地去抵抗这种人之本能的需求，当然，也不能完全放纵这些需求。
因此，最好的办法就是，要允许自己有一段时间不用来学习，允许自己可以挥霍一部分时间，但前提是，一定要给自己明确的限制——
例如，不要告诉自己：今天先玩一天。
而要明确规划好：今天从几点玩到几点？玩什么？怎么玩？明天继续玩，还是开始学习？
这样一来，我们玩的时候就会有明确的截止状态，玩了过后，也不会在“是否玩过瘾了？”这个问题上模糊不清，从而也就能够明确什么时候开始学习，开始学习的时候，劲头也就更足了。
也就是说，在对持续的时间做好约束的情况下，玩得认认真真、有理有据、目标明确，才有利于我们学得认认真真、有理有据、目标明确——无论玩，还是学，都要保持专注。
加油，祝大家玩得开心，学得高兴！
荒原之梦
2026 年 01 月 24 日
什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
微分方程所谓的“叠加原理”指的就是，如果 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是某个齐次线性微分方程的解，那么 $k_{1} y_{1}(x) + k_{2} y_{2}(x)$, 或者差 $k_{1} y_{1}(x) – k_{2} y_{2}(x)$ 也是该齐次线性微分方程的解，其中 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 为任意常数——
简单来说，狭义的“叠加原理”指的就是，齐次线性微分方程解的叠加仍然是其解.
当然，严格地说，对于两个解的差而言，符合的应该是“叠减原理”，而不是“叠加原理”，但在本文中，我们都将其称之为“叠加原理”.
此外，对于非齐次的线性微分方程，（广义的）叠加原理仍然有效，即：
