基本的等价无穷小
当 $x\rightarrow0$ 时：
$\tan x$ $\backsim$ $x$
$\sin x$ $\backsim$ $x$
$\arcsin x$ $\backsim$ $x$
$\arctan x$ $\backsim$ $x$
$\ln(1+x)$ $\backsim$ $x$
$e^{x} -1$ $\backsim$ $x$
$1-\cos x$ $\backsim$ $\frac{1}{2}x^{2}$
$x – \ln(1 + x)$ $\backsim$ $\frac{1}{2}x^{2}$
$\tan x – \sin x$ $\backsim$ $\frac{1}{2}x^{3}$
$\arcsin x – \arctan x$ $\backsim$ $\frac{1}{2}x^{3}$
$\tan x – x$ $\backsim$ $\frac{1}{3}x^{3}$
$x – \arctan x$ $\backsim$ $\frac{1}{3}x^{3}$
$x – \sin x$ $\backsim$ $\frac{1}{6}x^{3}$
$(1+x)^{a}-1$ $\backsim$ $ax$
$a^{x}-1$ $\backsim$ $\ln a\times x$
补充的等价无穷小
(01) 当 $\beta(x)$ $\rightarrow$ $0$ 且 $\beta(x) \cdot \alpha(x)$ $\rightarrow$ $0$ 时：
$[1 + \beta(x)]^{\alpha(x)} – 1$ $\sim$ $\alpha(x) \beta(x)$
Tips:
- 在上面的等价无穷小公式中，表示常数的符号 $a$ 也可以是一个极限为常数的式子。
例如 $(1+x)^{a}-1$ $\backsim$ $ax$ 这个极限公式中的 $a$ 既可以是一个常数，也可以是一个极限为常数的式子——也就是说，表示 $a$ 的这个式子的极限必须存在。- 当 $x$ 不是趋于零而是趋于某个常数的时候也可以借助上面的等价无穷小公式解题，可以参考《只有当 x 趋于零的时候才能用等价无穷小代换吗？不，x 趋于 1 的时候也可以试试看》。
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