题目
设函数 $f(x) = \left\{\begin{matrix}
x^{\alpha} \cos \frac{1}{x^{\beta}}, x > 0\\
0, x \leqslant 0,
\end{matrix}\right.$ $(\alpha > 0, \beta > 0)$, 若 $f^{‘}(x)$ 在 $x=0$ 处连续，则 $?$
$$
A. \alpha – \beta > 1
$$
$$
B. 0 < \alpha – \beta \leqslant 1
$$
$$
C. \alpha – \beta > 2
$$
$$
D. 0 < \alpha – \beta \leqslant 2
$$
解析
方法一：
观察选项可知，所有选项都是在描述 $\alpha – \beta$ 的大小，因此，我们可以取几个特殊值计算一下，寻找正确答案。
由于“可导必连续，连续不一定可导”。因此，若 $f^{‘}(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处也一定可导。于是，我们可以对原函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是否连续做判断。
取 $\alpha = 2, \beta =1$, 即 $\alpha – \beta = 1$, 则有：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{2} \cos \frac{1}{x} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos \frac{1}{x}}{x^{-2}} \Rightarrow
$$
$\cos \frac{1}{x}$ 是一个有界函数，$x^{-2}$ 趋向于无穷大，一个有界函数除以一个无穷大则等于零，于是有：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos \frac{1}{x}}{x^{-2}} = 0.
$$
因此，此条件下 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。但是，这个结论只告诉我们 $f(x)$ 在此条件下连续，并没有告诉我们 $f(x)$ 在不满足此条件下不连续，因此，通过该结论不能排除或者也不能确认 $A$, $C$ 两项。另外，也不能排除或者也不能确认 $B$, $D$.
取 $\alpha = 3, \beta =1$, 即 $\alpha – \beta = 2$, 则有：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{3} \cos \frac{1}{x} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos \frac{1}{x}}{x^{-3}} = 0.
$$
取 $\alpha = 4, \beta =1$, 即 $\alpha – \beta = 3$, 则有：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{4} \cos \frac{1}{x} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\cos \frac{1}{x}}{x^{-4}} = 0.
$$
按照这个思路继续向下写，当 $\alpha – \beta = 99999…$ 的时候，$f(x)$ 在 $x=0$ 处都是连续的。符合该条件的选项只有一个，那就是 $A$ 项。
方法二：
由于 $f^{‘}(x)$ 在 $x=0$ 处连续，因此，$f^{‘}(x)$ 在 $x=0$ 左右两侧的导函数值一定存在且相等。
又：
$$
f^{‘}(0) =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} x^{\alpha – 1} \cos \frac{1}{x^{\beta}}.
$$
由于 $\cos \frac{1}{x^{\beta}}$ 是一个有界函数，当 $\alpha – 1 \geqslant 0$ 时，$\lim_{x \rightarrow 0} x^{\alpha – 1} = 0$, 此时有：
$$
0 \cdot 有界函数 = 0.
$$
而当 $\alpha – 1 < 0$, $\lim_{x \rightarrow 0} x^{\alpha – 1} = \infty$, 此时有：
$$
\infty \cdot 有界函数 = \infty
$$
因此，满足题目条件的只有：
$$
\alpha – 1 \geqslant 0 \Rightarrow
$$
$$
\alpha \geqslant 1.
$$
又因为：
$$
f^{‘}(x) =
$$
$$
\alpha x^{\alpha – 1} \cos \frac{1}{x^{\beta}} + x^{\alpha} (- \sin \frac{1}{x^{\beta}}) (- \beta x^{- \beta – 1}) =
$$
$$
\alpha x^{\alpha – 1} \cos \frac{1}{x^{\beta}} + x^{\alpha} (\sin \frac{1}{x^{\beta}}) (\beta x^{- \beta – 1}) =
$$
$$
\alpha x^{\alpha – 1} \cos \frac{1}{x^{\beta}} + (\sin \frac{1}{x^{\beta}}) (\beta x^{\alpha – \beta – 1}) ①
$$
同前面的分析，要想让 $f^{‘}(x)$ 在 $x=0$ 处连续，必须有：
$$
\alpha – 1 \geqslant 0;
$$
且
$$
\alpha – \beta – 1 \geqslant 0.
$$
于是有：
$$
\alpha \geqslant 1;
$$
且：
$$
\alpha – \beta \geqslant 1.
$$
又由于：
$$
\alpha > 0, \beta > 0.
$$
因此，当 $\alpha – \beta \geqslant 1$ 时，一定有：
$$
\alpha \geqslant 1.
$$
于是，满足题目要求的结果为：
$$
\alpha – \beta \geqslant 1.
$$
又因为 $\alpha – \beta > 1$ 为 $\alpha – \beta \geqslant 1$ 的子集，因此，$\alpha – \beta > 1$ 也能使题目条件成立。
综上可知，正确选项为 $A$.
EOF