用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法

一、前言

本文详细阐述了用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法，并通过一些例子强化了对这些方法的掌握。

本文篇幅稍长，初次接触这部分内容的同学一定要放慢阅读脚步，理清思路哦 （￣︶￣）↗　

二、正文

解 题 思 路 简 图

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graph TB
	A(观察右端项的类型) --写出--> B(特解的一般假设形式) --找到特征方程--> C(求出特征根)
	A--> D([根据右端项和特征根确定所设特解的确切形式])
	C --> D

一、当右端项为 $P_{n}(x) e^{\mu x}$ 时

当右端项为 $P_{n} (x) e^{\mu x}$ 时，即：

$$
y^{\prime \prime} + a y^{\prime} + by = P_{n} (x) e^{\mu x}
$$

第 01 步：求特征值

写出对应的特征方程：

$$
\lambda^{2} + a \lambda + b = 0
$$

Next

并求出对应的特征值：

$$
\left\{\begin{matrix}
\lambda_{1} = ?\\
\lambda_{2} = ?
\end{matrix}\right.
$$

第 02 步：设出特解

设非齐次微分方程的特解为：

$$
y^{*} = x^{k} Q_{n}(x) e^{\mu x}
$$

Next

接下来，就是要确定所设特解中的三个变量：

$$
\left\{\begin{matrix}
\mu = ? \\
Q_{n}(x) = ? \\
k = ?
\end{matrix}\right.
$$

第 03 步：确定特解中的 $e^{\mu x}$

特解中的 $e^{\mu x}$ 和题目给出的非齐次微分方程右端项中的 $e^{\mu x}$ 是一样的，我们可以据此确定 $\mu$ 的取值。

第 04 步：确定特解中的 $Q_{n}(x)$

特解中的 $Q_{n}(x)$ 是由非齐次微分方程右端项中的 $P_{n}(x)$ 确定的，并且，$Q_{n}(x)$ 中变量 $x$ 的最高次幂和 $P_{n}(x)$ 中变量 $x$ 的最高次幂保持一致——$Q_{n}(x)$ 是 $P_{n}(x)$ 的同次多项式。

Next

例如，当非齐次微分方程右端项中的 $P_{n}(x)$ $=$ $x$ 时，则 $Q_{n}(x)$ 就需要设为：

$$
Q_{n}(x) = a x + b
$$

再例如，当非齐次微分方程右端项中的 $P_{n}(x)$ $=$ $x^{2} + 1$ 时，则 $Q_{n}(x)$ 就需要设为：

$$
Q_{n}(x) = a x^{2} + b x + c
$$

而当非齐次微分方程右端项中的 $P_{n}(x)$ 是一个常数，例如 $P_{n}(x)$ $=$ $1$ 时，则 $Q_{n}(x)$ 就需要设为：

$$
Q_{n}(x) = a
$$

其中，上面所提到的 $a$, $b$ $c$ 都是待定常数。

第 05 步：确定特解中的 $x^{k}$

特解中 $x^{k}$ 中 $k$ 的取值，分以下三种情况：

① 当右端项中的 $e^{\mu x}$ 中的 $\mu$ 与特征根 $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$ 都不相等时，$k$ $=$ $0$;

② 当右端项中的 $e^{\mu x}$ 中的 $\mu$ 与特征根 $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$ 中的其中一个相等时，$k$ $=$ $1$;

③ 当右端项中的 $e^{\mu x}$ 中的 $\mu$ 与特征根 $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$ 全都相等时，$k$ $=$ $2$.

Next

简单地说就是：

① $\mu$ $\neq$ $\lambda_{1}$ 且 $\mu$ $\neq$ $\lambda_{2}$ $\Rightarrow$ $k$ $=$ $0$;

② $\mu$ $=$ $\lambda_{1}$ 或者 $\mu$ $=$ $\lambda_{2}$ 且 $\lambda_{1}$ $\neq$ $\lambda_{2}$ $\Rightarrow$ $k$ $=$ $1$;

③ $\mu$ $=$ $\lambda_{1}$ 且 $\mu$ $=$ $\lambda_{2}$ 且 $\lambda_{1}$ $=$ $\lambda_{2}$ $\Rightarrow$ $k$ $=$ $2$;

二、当右端项为 $P_{n}(x) e^{\alpha x} \sin \beta x$ 或 $P_{l}(x) e^{\alpha x} \cos \beta x$ 时

当右端项为 $P_{n}(x) e^{\alpha x} \sin \beta x$ 或者 $P_{l}(x) e^{\alpha x} \cos \beta x$, 即：

$$
y^{\prime \prime} + a y^{\prime} + by = e^{\alpha x}[ P_{n}(x) \sin \beta x + P_{l}(x) \cos \beta x]
$$

其中，$P_{n}(x)$ 和 $P_{l}(x)$ 分别是 $n$ 次和 $l$ 次多项式。

第 01 步：求特征值

写出对应的特征方程：

$$
\lambda^{2} + a \lambda + b = 0
$$

Next

并求出对应的特征值：

$$
\left\{\begin{matrix}
\lambda_{1} = ?\\
\lambda_{2} = ?
\end{matrix}\right.
$$

第 02 步：设出特解

设非齐次微分方程的特解为：

$$
y^{*} = x^{k} e^{\alpha x} [R_{m}(x) \sin \beta x + T_{m}(x) \cos \beta x]
$$

Next

接下来，就是要确定所设特解中的五个变量：

$$
\left\{\begin{matrix}
\alpha = ? \\
\beta = ? \\
R_{m}(x) = ? \\
T_{m}(x) = ? \\
k = ?
\end{matrix}\right.
$$

第 03 步：确定特解中的 $\alpha$ 和 $\beta$

特接种的 $\alpha$ 和 $\beta$ 的值就是非齐次微分方程右端项中 $e^{\alpha x}$ 和 $\sin \beta x$ 或者 $\cos \beta x$ 中对应的 $\alpha$ 和 $\beta$ 的值。

第 04 步：确定特解中的 $R_{m}(x)$ 和 $T_{m}(x)$

特解中的 $R_{m}(x)$ 和 $T_{m}(x)$ 都是 $m$ 次多项式，但各自的系数不同，并且：

$$
m = \max(n, l)
$$

也就是说，$m$ 的取值是非齐次微分方程右端项中的 $P_{n}(x)$ 和 $P_{l}(x)$ 较高的次数对应的数值。

Next

此处 $R_{m}(x)$ 和 $T_{m}(x)$ 这两个 $m$ 次多项式的形式，可以参考前面《第 04 步：确定特解中的 $Q_{n}(x)$》中确定多项式 $Q_{n}(x)$ 形式的方法。

Next

需要特别注意的是：

• 如果右端项中的 $P_{n}(x)$ 和 $P_{l}(x)$ 是常数（例如 $1$ 或者 $0$），那么，$R_{m}(x)$ 和 $T_{m}(x)$ 就应该设成两个表示常数的待定系数 $c$ 和 $d$；
• 无论右端项中是只包含 $\sin \beta x$, 还是只包含 $\cos \beta x$, 又或者同时包含前述这两者，所设的特解中都要包含 $\sin \beta x$ 和 $\cos \beta x$ 这两项。

第 05 步：确定特解中的 $x^{k}$

特解中 $x^{k}$ 中 $k$ 的取值，分以下两种情况：

① 当 $\alpha$ $\pm$ $i \beta$ 不是特征根时，$k$ $=$ $0$;

② 当 $\alpha$ $\pm$ $i \beta$ 是特征根时，$k$ $=$ $1$.

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