罗尔定理的本质：基于圆形的几何逻辑证明罗尔定理

一、前言

罗尔定理是微分学中的一个非常重要的定理，也是引出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基础。但是，对罗尔定理的传统证明方法并不能非常直观的反映出罗尔定理的性质（不过，本文中仍然会给出基于传统数学方法的罗尔定理证明），所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用一种原创的方式，通过一个非常自然的过程，证明罗尔定理，因为我相信——

只要是正确的数学定理，都具有不证自明的性质，只是需要我们更换一下观察和思考的角度。

二、正文

罗尔定理的定义

罗尔中值定理或者说罗尔定理是以法国数学家米歇尔·罗尔命名的三大微分中值定理之一，该定理的内容为：

如果函数 $f (x)$ 满足在闭区间 $[a, b]$ 上连续；在开区间 $(a, b)$ 内可微分；在区间端点处的函数值相等，即 $f (a) = f (b)$ , 则至少有一个点 $ξ \in (a, b)$ , 使得 $f^{'} (ξ) = 0$ .

罗尔定理的传统数学证明

首先，由于函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，根据极值定理， $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有最大值和最小值。

接着，如果 $f (x)$ 的最大值和最小值都在端点 $a$ 或 $b$ 处取得，由于 $f (a) = f (b)$ , 则 $f (x)$ 显然是一个常数函数。此时，对于任一点 $ξ \in (a, b)$ , 我们都有 $f^{'} (ξ) = 0$ . 于是可知，在此种情况下，罗尔定理得证。

接下来，我们只需要证明，当 $f (x)$ 在 $ξ \in (a, b)$ 处取得最大值，且 $f^{'} (ξ) = 0$ 即可：

若取 $x \in (a, ξ)$ , 根据最大值定义可知 $f (ξ) \geq f (x)$ , 于是：

$\begin{aligned} \frac{f (x) - f (ξ)}{x - ξ} \geq 0 \\ ⇝ lim_{x \to ξ^{-}} & \frac{f (x) - f (ξ)}{x - ξ} \geq 0 \end{aligned}$

又因为 $f (x)$ 在 $ξ$ 处可导，所以：

$\begin{matrix} (a) & f^{'} (ξ) \geq 0 \end{matrix}$

若取 $x \in (ξ, b)$ , 根据最大值定义可知 $f (ξ) \leq f (x)$ , 于是：

$\begin{aligned} \frac{f (x) - f (ξ)}{x - ξ} \leq 0 \\ ⇝ lim_{x \to ξ^{+}} & \frac{f (x) - f (ξ)}{x - ξ} \leq 0 \end{aligned}$

又因为 $f (x)$ 在 $ξ$ 处可导，所以：

$\begin{matrix} (b) & f^{'} (ξ) \leq 0 \end{matrix}$

结合 $(a)$ 式和 $(b)$ 式可知：

$f^{'} (ξ) = 0$

函数 $f (x)$ 在点 $ξ \in (a, b)$ 处取得最小值的证明过程与上面的证明过程类似，同样可得 $f^{'} (ξ) = 0$ 的结论。

综上可知，罗尔定理得证。

基于圆形的几何逻辑证明罗尔定理

在开始核心的证明过程之前，我们需要先阐明一个原理，那就是“沿着直角坐标系中 $X$ 轴或者 $Y$ 轴方向上的平移变换，并不会改变驻点在函数中的绝对位置”。

例如，在图 01 中，蓝色曲线是函数 $Z (x)$ $=$ $- {(x + 2)}^{2} - 1$ 的函数图象，绿色曲线是函数 $K (x)$ $=$ $- x^{2} + 2$ 的函数图象，橙色曲线是函数 $F (x)$ $=$ $- {(x - 2)}^{2} + 3$ 的函数图象，且 $Z (a_{2}) = Z (b_{2})$ , $K (a_{0}) = K (b_{0})$ , $F (a_{1}) = F (b_{1})$ :