分段函数求不定积分的两种常用方法：不定积分法和变上限积分法

一、题目

(A). $\begin{cases}
\frac{x^{3}}{3}+C, & x<-1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+C, & x>1
\end{cases}$

(B). $\begin{cases}
x^{3} – \frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x<-1 \\\ x+\mathrm{C}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x>1
\end{cases}$

(C). $\begin{cases}
\frac{x^{3}}{3}+C_{1}, & x<-1 \\\ x+C\_{2}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+C\_{3}, & x>1
\end{cases}$

(D). $\begin{cases}
x^{3} – \frac{4}{3}+\mathrm{C}, & x<-1 \\\ x+\mathrm{C}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x>1
\end{cases}$

难度评级：

二、解析

解法一：分段函数分段求，再利用连续性确定未知参数

由题可知：

$$
\begin{aligned}
f(x) \\ \\
& = \max \left\{1, x^{2}\right\} \\ \\
& = \begin{cases}
x^{2}, & x<-1 \\ 1, & -1 \leq x \leq 1 \\ x^{2}, & x>1
\end{cases}
\end{aligned}
$$

于是，根据基本的积分公式：

当 $x<-1$ 时：

$$
\begin{aligned}
F(x) \\ \\
& = \int x^{2} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \frac{1}{3} x^{3} + C_{1}
\end{aligned}
$$

当 $-1 \leq x \leq 1$ 时：

$$
\begin{aligned}
F(x) \\ \\
& = \int 1 \mathrm{~d} x \\ \\
& = x + C_{2}
\end{aligned}
$$

当 $x > 1$ 时：

$$
\begin{aligned}
F(x) \\ \\
& = \int x^{2} \mathrm{~d} x \\ \\
& = \frac{1}{3} x^{3} + C_{3}
\end{aligned}
$$

即：

$$
\textcolor{orangered}{
F(x) = \begin{cases}
& \frac{1}{3} x^{3}+C_{1}, & x < -1 \\ \\ & x + C_{2}, & -1 \leq x \leq 1 \\ \\ & \frac{1}{3} x^{3} + C_{3}, & x > 1
\end{cases}
}
$$

又因为函数 $F(x)$ 是由函数 $f(x)$ 积分得来的，因此，函数 $F(x)$ 一定是连续函数，则函数 $F(x)$ 在分段点 $x = 1$ 和 $x = -1$ 的左右两侧的函数值一定是相等的，即：

$$\lim \limits_{x \rightarrow-1^{-}} F(x)=F(-1)
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1^{+}} F(x)=F(1)
$$

从而有：

$$
-\frac{1}{3}+C_{1}=-1+C_{2}
$$

$$
1+C_{2}=\frac{1}{3}+C_{3}
$$

解得：

$$
C_{1}=C_{2}-\frac{2}{3}
$$

$$
C_{3}=C_{2}+\frac{2}{3}
$$

若令 $C_{2} = C$, 则：

$$
\textcolor{springgreen}{
F(x) = \begin{cases}
\frac{1}{3} x^{3} + C – \frac{2}{3}, & x<-1 \\\ x + C, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} + C, & x>1
\end{cases}
}
$$

综上可知，本 题 应 选 B .

解法二：利用变上限积分

已知：

$$
\max \left\{1, t^{2}\right\} = \begin{cases} t^{2}, & \mathrm{~d} t<-1 \\ 1, & -1 \leq t \leq 1 \\ t^{2}, & \mathrm{~d} t>1\end{cases}
$$

于是，我们有变限积分函数 $G(x)$：

$$
\begin{aligned}
G(x) \\ \\ \\
& = \int_{\textcolor{red}{0}}^{x} \max \left\{1, t^{2}\right\} \mathrm{~d} t \\ \\ \\
& = \begin{cases}
\int_{\textcolor{red}{0}}^{x} \max \left\{\textcolor{springgreen}{1}, \textcolor{orangered}{t^{2}} \right\} \mathrm{~d} t, & x<-1 \\ \\
\int\_{\textcolor{red}{0}}^{x} \max \left\{ \textcolor{springgreen}{1}, \textcolor{orangered}{t^{2}} \right\} \mathrm{~d} t, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \\\ \int\_{\textcolor{red}{0}}^{x} \max \left\{ \textcolor{springgreen}{1}, \textcolor{orangered}{t^{2}} \right\} \mathrm{~d} t, & x>1 \end{cases} \\ \\ \\
\end{aligned}
$$

由于该变上限积分定义域的取值是从 $\textcolor{red}{0}$ 开始的，因此，需要对函数本身分段积分：

$$
\begin{aligned}
G(x) \\ \\
& = \begin{cases} \int_{\textcolor{red}{0}}^{-1} \textcolor{springgreen}{1} \mathrm{~d} t + \int_{-1}^{x} \textcolor{orangered}{t^{2}} \mathrm{~d} t, & x<-1 \\\ \\\ \int\_{\textcolor{red}{0}}^{x} \textcolor{springgreen}{1} \mathrm{~d} t, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \\\ \int\_{\textcolor{red}{0}}^{1} \textcolor{springgreen}{1} \mathrm{~d} t+\int\_{1}^{x} \textcolor{orangered}{t^{2}} \mathrm{~d} t, & x>1 \end{cases} \\ \\ \\
& = \begin{cases} \frac{x^{3}}{3}-\frac{2}{3}, & x<-1 \\\ \\\ x, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \\\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}, & x>1\end{cases}
\end{aligned}
$$

又因为不定积分与对应的变上限积分的差别就是多了一个任意常数 $\textcolor{yellow}{C}$, 因此：

$$
\begin{aligned}
\int \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{~d} x \\ \\ \\
& = \int_{0}^{x} \max \left\{1, t^{2}\right\} \mathrm{~d} t + \textcolor{yellow}{C} \\ \\ \\
& = \begin{cases} \frac{x^{3}}{3}-\frac{2}{3}+C, & \mathrm{~d} x<-1 \\ \\ x + C, & -1 \leq x \leq 1 \\ \\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}+C, & \mathrm{~d} x>1\end{cases}
\end{aligned}
$$

综上可知，本 题 应 选 B

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