一、题目
设函数 $f(x)$ 具有 2 阶导数, 且 $f^{\prime}(0)$ $=$ $f^{\prime}(1)$, $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$, 证明:
(1) 当 $x \in(0,1)$ 时, $|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x|$ $\leq$ $\frac{x(1-x)}{2}$;
(2) $\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right|$ $\leq$ $\frac{1}{12}$.
难度评级：
二、解析 
第 (1) 问 | 解法一
当 $x \in (0,1)$ 时, 题目要证明：
$$
|f(x) – f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2}
$$
其实就是要证：
$$
\textcolor{springgreen}{- \frac{x(1-x)}{2}} \leq f(x) – f(0)(1-x)-f(1) x \leq \textcolor{orangered}{\frac{x(1-x)}{2}}
$$
上面的式子是对题目所给的含绝对值式子的同义转换，这样去掉绝对值符号之后，才有利于我们开展接下来的计算。
同时也要注意到，对于计算一个绝对值式子小于某个值或式子的情况，我们在去绝对值之后，要采取如上“两头围堵”的方式进行，少了任何一“头”都不正确。
接下来，我们准备采取构造函数，求导判断凹凸性和最值得方式求解本问，所以，为了描述方便，首先构造如下函数：
$$
\begin{aligned}
g(x) \\
& = f(0)(1-x) + x f(1) \\
& = f(0) – xf(0) + x f(1)
\end{aligned}
$$
且易知：
$$
g^{\prime}(x) = -f(0) + f(1) \Rightarrow \text{常数}
$$
同时可知：
$$
\begin{cases}
g(0) = f(0) \\
g(1) = f(1)
\end{cases}
$$
证明 $f(x) – f(0)(1-x)-f(1) x \leq \frac{x(1-x)}{2}$
令：
$$
F(x)=f(x)-g(x)-\frac{x(1-x)}{2}, \quad x \in(0,1)
$$
于是，题目要证 $f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x$ $\leq$ $\frac{x(1-x)}{2}$, 其实就是证：
$$
\textcolor{orangered}{
F(x) \leq 0
}
$$
$F(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 端点处的取值情况：
$$
\begin{aligned}
F(0) \\
& = f(0) – g(0) – 0 \\
& = f(0) – f(0) \\
& = 0
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
F(1) \\
& = f(1) – g(1) – 0 \\
& = f(1) – f(1) \\
& = 0
\end{aligned}
$$
由上面的计算可知，函数 $F(x)$ 在 $x = 0$ 和 $x = 1$ 这两个端点处的取值都不大于零。
为了判断 $F(x)$ 的在开区间 $(0, 1)$ 上的凹凸性，我们需要对 $F(x)$ 进行求导：
【一阶导】
$$
\begin{aligned}
F^{\prime}(x) \\
& = f^{\prime} (x) – g^{\prime} (x) – \frac{1}{2} (1 – 2x) \\ \\
& = f^{\prime} (x) + x + \text{常数}
\end{aligned}
$$
【二阶导】
$$
\begin{aligned}
F^{\prime \prime}(x) \\
& = f^{\prime \prime}(x) + 1 \\ \\
& \underrightarrow{\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1 \quad } \quad F^{\prime \prime}(x) \geq 0
\end{aligned}
$$
由于 $F(x)$ 的二阶导不小于零，因此，$F(x)$ 为凹函数
又由于 $F(x)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 端点处的值不大于零，因此，在开区间 $(0, 1)$ 内，我们有：
$$
\textcolor{orangered}{
F(x) \leq 0
}
$$
于是，我们就证明了：
$$
\textcolor{springgreen}{
f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x \leq \frac{x(1-x)}{2}
}
$$
证明 $- \frac{x(1-x)}{2} \leq f(x) – f(0)(1-x)-f(1) x$
要证明：
$$
– \frac{x(1-x)}{2} \leq f(x) – f(0)(1-x)-f(1) x
$$
类似的，我们首先令：
$$
F(x)=f(x)-g(x)+\frac{x(1-x)}{2}, \quad x \in(0,1)
$$
由于：
$$
\begin{cases}
F(0)=0 \\
F(1)=0
\end{cases}
$$
且：
$$
F^{\prime \prime}(x)=f^{\prime \prime}(x)-1
$$
又：
$$
\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1
$$
所以：
$$
F^{\prime \prime}(x) \geq 0
$$
于是可知，$F(x)$ 为凸函数。
进而可知：
$$
\textcolor{orangered}{
F(x) \geq 0
}
$$
于是，下式成立：
$$
\therefore f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x \geq-\frac{x(1-x)}{2}
$$
综上，下式成立：
$$
|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2}
$$