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问题

[$\int e^{-x}\mathrm{d}x$] 的积分该怎么计算？

选项

[A].   $\int$ $e^{-x}$ $\mathrm{d}x$ $=$ $e^x$ $+$ $C$

[B].   $\int$ $e^{-x}$ $\mathrm{d}x$ $=$ $e^{-x}$ $+$ $C$

[C].   $\int$ $e^{-x}$ $\mathrm{d}x$ $=$ $-e^{-x}$

[D].   $\int$ $e^{-x}$ $\mathrm{d}x$ $=$ $-e^{-x}$ $+$ $C$

   答 案   

$$\int e^{-x}\mathrm{d}x=$$ $$-e^{-x}+C.$$其中，$e$ 表示自然对数的底数，$C$ 为任意常数.

基本积分公式：

继续阅读“自然对数的底数 $e$”

一、充分条件

若由 $A$ 能够推导出 $B$, 但是由 $B$ 不能够推导出 $A$, 则称 $A$ 是 $B$ 的充分不必要条件（$B$ 的充分不必要条件是 $A$.）。

从集合的角度看，就是 $A\in B$, 如图 1：

继续阅读“充分条件必要条件和充要条件(图文解析)”

一、题目

下列命题中正确的是（）

( A ) 若 $\underset{x\to x_0}{lim}$ $f(x)$ $⩾$ $\underset{x\to x_0}{lim}$ $g(x)$, 则 $\mathrm{\exists }$ $\epsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_0|$ $<$ $\epsilon$ 时，$f(x)$ $⩾$ $g(x)$.

( B ) 若 $\mathrm{\exists }$ $\epsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_0|$ $<$ $\epsilon$ 时，$f(x)$ $>$ $g(x)$, 且 $\underset{x\to x_0}{lim}$ $f(x)$ $=$ $A_0$, $\underset{x\to x_0}{lim}$ $g(x)$ $=$ $B_0$, 则 $A_0$ $>$ $B_0$.

( C ) 若 $\mathrm{\exists }$ $\epsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_0|$ $<$ $\epsilon$ 时，$f(x)$ $>$ $g(x)$, 则 $\underset{x\to x_0}{lim}$ $f(x)$ $⩾$ $\underset{x\to x_0}{lim}$ $g(x)$.

( D ) 若 $\underset{x\to x_0}{lim}$ $f(x)$ $>$ $\underset{x\to x_0}{lim}$ $g(x)$, 则 $\mathrm{\exists }$ $\epsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_0|$ $<$ $\epsilon$ 时，$f(x)$ $>$ $g(x)$.

二、解析

概念考察题是考研数学中一类比较难的题，这类题的难点在于除了紧抠概念之外，解答者没有多少可以自由发挥的空间。而且，概念考察题考察的都是概念的细微之处，一不留神就可能审错题。

从本题的四个选项可以看出，本题考查的着重点在函数极限这一部分。更细致的来看，本题考查了函数极限的定义中当 $x$ $\to$ $x_0$ 时的极限的定义，如下：

已知 $\underset{x\to x_0}{lim}$ $f(x)$ $=$ $A$

任给 $\epsilon$ $>$ $0$, 存在正数 $\delta$, 当 $0$ $<$ $(x$ $-$ $x_0)$ $<$ $\delta$ 时，就有 $|f(x)-A|$ $<$ $\epsilon$.

注：上面这个定义说的通俗一点就是，当 $x$ 与 $x_0$ 足够接近的时候，$f(x)$ 与 $f(x)$ 的极限 $A$ 也足够接近。

本题还考察了函数极限的性质中的“保号性”，如下：

设 $lim$ $f(x)$ $=$ $A$ $>$ $0$, 则在极限管辖的范围内，$f(x)$ $>$ $0$ $($ $f(x)$ $>$ $\frac{A}{2}$ $)$.

反之，$f(x)$ $>$ $0$ 且 $lim$ $f(x)$ $=$ $A$ $\Rightarrow$ $A$ $⩾$ $0$.

注：当 $x$ $\to$ $x_0$ 时，“极限管辖的范围”指的就是 $x_0$ 的去心邻域；当 $x$ $\to$ $\mathrm{\infty }$ 时，“极限管辖的范围”指的就是无穷远处。

对于函数极限的性质中的保号性，我们需要明确以下几点：

• 解答保号性问题的大前提是“涉及到的函数的极限均存在”，这也是解决所有涉及极限的问题的大前提：要研究和利用极限，则极限必须存在；
• 保号性都是局部保号性，即只有在极限管辖的范围内才存在保号性；
• 由极限大于 $0$ 可以推出函数大于 $0$, 不能推出函数等于 $0$ 或者函数小于 $0$. 由函数大于 $0$ 可以推出极限大于 $0$ 或者极限等于 $0$, 而且在不确定极限究竟是只大于 $0$ 还是只小于 $0$ 的情况下，要写成极限大于等于 $0$ 的形式。

以下是对本题中每一个选项的分析。

A 选项

该选项给出了：

$\underset{x\to x_0}{lim}$ $f(x)$ $⩾$ $\underset{x\to x_0}{lim}$ $g(x)$.

这说明 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的极限都存在（满足了研究极限问题的大前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤）且 $f(x)$ 的极限大于等于 $f(x)$ 的极限。

于是，我们有：

$\underset{x\to x_0}{lim}$ $($ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $)$ $⩾$ $0$.

接下来选项给出了：

若 $\mathrm{\exists }$ $\epsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_0|$ $<$ $\epsilon$ 时

这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法，具备使用保号性的前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。

该选项接下来指出，由上面的条件可以推出 $f(x)$ $⩾$ $g(x)$.

这个结论是不对的。原因如下：

若函数 $f(x)$ 的极限 $A$ $>$ $0$, 则可以推出函数 $f(x)$ $>$ $0$;

若函数 $f(x)$ 的极限 $A$ $<$ $0$, 则可以推出函数 $f(x)$ $<$ $0$;

若函数 $f(x)$ 的极限 $A=0$, 则不能确定函数 $f(x)$ 是大于 $0$, 小于 $0$ 还是等于 $0$. 原因是，如果 $A$ $=$ $0$ 我们不知道函数 $f(x)$ 是在大于 $0$ 的方向上趋近于极限 $A$, 还是在小于 $0$ 的方向上趋近于极限 $A$, 抑或 $f(x)$ $=$ $0$.

如图 1 所示，当函数的极限等于 $0$ 时，函数可能是大于 $0$ 的：

如图 2 所示，当函数的极限等于 $0$ 时，函数也可能是小于 $0$ 的：

第三种情况，当函数的极限等于 $0$ 时，函数可能也是等于 $0$ 的，如图 3 所示：

因此，已知极限 $\underset{x\to x_0}{lim}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $⩾$ $0$, 并不能推导出函数 $F(x)$ $=$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $⩾$ $0$.

综上可知，选项 A 是错误的。

B 选项

题目中给出了如下条件：

若 $\mathrm{\exists }$ $\epsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_0|$ $<$ $\epsilon$ 时

因此，本题符合函数极限保号性的使用条件，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。

接着，该选项给出：

$f(x)$ $>$ $g(x)$

于是，当我们令 $F(x)$ $=$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ 时，可以得出如下结论：

$F(x)$ $>$ $0$

接着，该选项又给出：

$\underset{x\to x_0}{lim}$ $f(x)$ $=$ $A_0$, $\underset{x\to x_0}{lim}$ $g(x)$ $=$ $B_0$

这说明函数 $f(x)$ 和函数 $g(x)$ 都是存在极限的，符合我们研究函数极限问题的大前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。

最后，该选项给出了他的结论：

$A_0$ $>$ $B_0$

有了这个结论，结合前面的条件，我们可以把该选项改写成如下形式：

已知函数 $F(x)$ 存在极限，且函数 $F(x)$ $>$ $0$, 则 $\underset{x\to x_0}{lim}$ $F(x)$ $>$ $0$.

这个结论显然是错误的，因为已知函数大于 $0$ 的时候，其极限是可能等于 $0$ 的，例如对 A 选项的解析中给出的图 1, 函数 $f(x)$ $=$ $\frac{1}{x}$ 始终是大于 $0$ 的，但是其极限却是等于 $0$ 的。

综上可知，选项 B 是错误的。

C 选项

该选项的错误比较明显，因为选项中没有指明函数 $f(x)$ 和函数 $g(x)$ 的极限存在，缺少了研究极限问题的大前提，那么，接下来的所有说明和结论都是没有根据也没有意义的。不过，如果 C 选项像 B 选项一样指明函数 $f(x)$ 和函数 $g(x)$ 的极限是存在的，那么该选项的表述就是正确的，原因在 B 选项中已经分析过。

综上可知，选项 C 是错误的。

D 选项

该选项首先给出了如下条件：

$\underset{x\to x_0}{lim}$ $f(x)$ $>$ $\underset{x\to x_0}{lim}$ $g(x)$

若我们令 $F(x)$ $=$ $f(x)$ $-$ $g(x)$, 则上面的条件可以改写成：

$\underset{x\to x_0}{lim}$ $F(x)$ $>$ $0$

接着选项给出了：

若 $\mathrm{\exists }$ $\epsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_0|$ $<$ $\epsilon$ 时

这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法，具备使用保号性的前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。

接着，该选项给出了它的结论：

$f(x)$ $>$ $g(x)$

根据前面的分析可知，我们可以将此改写成：

$F(x)$ $>$ $0$

我们知道，当一个函数的极限存在且大于 $0$ 的时候，在函数极限的管辖范围内，可以推导出该函数也大于 $0$.

综上可知，选项 D 是正确的。

EOF

一、题目

判断函数 $f(x)$ $=$ $\ln (x+\sqrt{1+x^2})$ 的奇偶性。

二、解析

本题用到的知识点

${\log }_a(MN)$ $=$ ${\log }_{a}M$ $+$ ${\log }_{a}N$

在 MATLAB (下面的代码在 MATLAB 9.1.0.441655 (R2016b) 中测试通过) 中输入如下代码：

x=0:0.01:10;
semilogy(x,log(x))

可以绘制出 $y$ $=$ $\ln (x)$ 的图像：

有图像可以看到，自然对数 $\ln (x)$ 只在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 的区间里有定义，不符合对数函数或者偶数函数对于“定义域 $X$ 关于原点对称”的要求。不过题目中的函数可以看作是一个符合函数，因此，我们还需要结合 $g(x)$ $=$ $x$ $+$ $\sqrt{1+x^2}$ 的定义域来确定 $f(x)$ 的定义域。

因为：

$\sqrt{1+x^2}$ $>$ $\sqrt{x^2}$ $>$ $|x|$ $>$ $0$.

则：

当 $x$ $\in$ $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 时 $x$ $+$ $\sqrt{1+x^2}$ $>$ $0$ 满足自然对数函数 $\ln (x)$ 对定义域的要求，而且，当 $x$ $=$ $0$ 时，$f(x)$ $=$ $\ln (1)$ $=$ $0$ , 也满足奇函数“当 $f(x)$ 在原点处有定义时，$f(0)$ $=$ $0$”的要求。

到这里，定义域的问题解决了，下面要解决的是函数是关于 $y$ 轴对称，还是关于原点对称的问题。

由于：

$f(x)$ $=$ $\ln (x+\sqrt{1+x^2})$

$f(-x)$ $=$ $\ln (-x+\sqrt{1+x^2})$

则：

$f(x)$ $+$ $f(-x)$ $=$ $\ln (\sqrt{1+x^2}+x)$ $+$ $\ln (\sqrt{1+x^2}-x)$ $=$ $\ln [(\sqrt{1+x^2}+x)(\sqrt{1+x^2}-x)]$ $=$ $\ln (1+x^2-x^2)$ $=$ $\ln (1)$ $=$ $0$

上面的运算结果符合奇函数的定义，因此，$f(x)$ $=$ $\ln (x+\sqrt{1+x^2})$ 是一个奇函数。

此外，使用 WolframAlpha 画出的函数 $f(x)$ $=$ $\ln (x+\sqrt{1+x^2})$ 的图像如下：

由图像我们也可以看出这是一个奇函数。

EOF

一、例题：对下面的函数求导

$f(x)$ $=$ $\sqrt{1+x}$ $+$ $\sqrt{1-x}$ $-$ $2$

二、错误的求导过程

$f^{\prime }(x)$ $=$ ${(\sqrt{1+x})}^{\prime }$ $+$ ${(\sqrt{1–x})}^{\prime }$ $+$ $2^{\prime }$ $=$ ${((1+x{)}^{\frac{1}{2}})}^{\prime }$ $+$ ${((1–x{)}^{\frac{1}{2}})}^{\prime }$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ $=$ $\frac{1}{2\sqrt{1+x}}$ $+$ $\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$

上面这个计算过程是错的，错误的原因是在计算 $\sqrt{1+x}$ 的导数时把 $1+x$ 视作了自变量，也就是说把 $1$ $+$ $x$ 视作了求导对象；而在对 $\sqrt{1-x}$ 求导时，又把 $1$ $-$ $x$ 看作了求导自变量。

很显然，一个二维函数中不可能有两个不同的自变量，而且根据约定可知，当式子中出现 $f(x)$ 或者 $li{m}_{x\to 0}$ 时，就表明这个式子中的自变量是 $x$ 且求导也要对 $x$ 求导。

三、正确的求导过程

这里我们可以使用复合函数求导的链式法则计算本例题，复合函数的链式求导法则如下：

设 $y$ $=$ $f(u)$, $u$ $=$ $\mu (x)$, 如果 $\mu (x)$ 在 $x$ 处可导，$f(x)$ 在对应点 $u$ 处可导，则复合函数 $y$ $=$ $f[\mu (x)]$ 在 $x$ 处可导，且有：

$\frac{dy}{dx}$ $=$ $\frac{dy}{du}$ $\frac{du}{dx}$ $=$ $f^{\prime }[\mu (x)]{\mu }^{\prime }(x)$

于是，对于例题的正确求导过程如下：

$f^{\prime }(x)$ $=$ ${(\sqrt{1+x})}^{\prime }$ $+$ ${(\sqrt{1–x})}^{\prime }$ $+$ $2^{\prime }$ $=$ ${((1+x{)}^{\frac{1}{2}})}^{\prime }$ $+$ ${((1–x{)}^{\frac{1}{2}})}^{\prime }$ $=$ $\frac{1}{2}(1+x{)}^{-\frac{1}{2}}$ $+$ $\frac{1}{2}$ $(1–x{)}^{-\frac{1}{2}}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $(1+x{)}^{-\frac{1}{2}}\times {(x)}^{\prime }$ $+$ $\frac{1}{2}$ $(1–x{)}^{-\frac{1}{2}}\times {(-x)}^{\prime }$ $=$ $\frac{1}{2\sqrt{1+x}}–\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$