高等数学基础归档 - 第23页共56页

积分路径关于 $x$ 轴对称时第一类曲线积分的化简（B016）

问题

已知积分路径

L

关于

x

轴对称, 则如何对第一类曲线积分

\int_{L}

f (x, y)

d s

进行化简？

（其中，积分路径 $L_{1}$ 是积分路径 $L$ 在 $y$ 轴上方的部分。）

选项

[A].

\int_{L}

f (x, y)

d s

=

{\begin{cases} 0, & f (x, - y) = - f (x, y), \\ 2 \int_{L_{1}} f (x, y) d s, & f (x, - y) = f (x, y) . \end{cases}

[B].

\int_{L}

f (x, y)

d s

=

{\begin{cases} 0, & f (x, - y) = - f (x, y), \\ \int_{2 L_{1}} f (x, y) d s, & f (x, - y) = f (x, y) . \end{cases}

[C].

\int_{L}

f (x, y)

d s

=

{\begin{cases} 0, & f (x, - y) = - f (x, y), \\ \int_{L_{1}} f (x, y) d s, & f (x, - y) = f (x, y) . \end{cases}

[D].

\int_{L}

f (x, y)

d s

=

{\begin{cases} 1, & f (x, - y) = - f (x, y), \\ 2 \int_{L_{1}} f (x, y) d s, & f (x, - y) = f (x, y) . \end{cases}

答案

$\int_{L}$ $f (x, y)$ $d s$ $=$ ${\begin{cases} 0, & f (x, - y) = - f (x, y), \\ 2 \int_{L_{1}} f (x, y) d s, & f (x, - y) = f (x, y) . \end{cases}$

$f (- x, y)$ $=$ $-$ $f (x, y)$ $\Rightarrow$ $f (x, y)$ 是关于 $x$ 的奇函数.
$f (- x, y)$ $=$ $f (x, y)$ $\Rightarrow$ $f (x, y)$ 是关于 $x$ 的偶函数.

积分路径关于 $y$ 轴对称时第一类曲线积分的化简（B016）

问题

已知积分路径

L

关于

y

轴对称, 则如何对第一类曲线积分

\int_{L}

f (x, y)

d s

进行化简？

（其中，积分路径 $L_{1}$ 是积分路径 $L$ 在 $x$ 轴右侧的部分。）

选项

[A].

\int_{L}

f (x, y)

d s

=

{\begin{cases} 0, & f (- x, y) = - f (x, y), \\ \int_{L_{1}} f (x, y) d s, & f (- x, y) = f (x, y) . \end{cases}

[B].

\int_{L}

f (x, y)

d s

=

{\begin{cases} 1, & f (- x, y) = - f (x, y), \\ 2 \int_{L_{1}} f (x, y) d s, & f (- x, y) = f (x, y) . \end{cases}

[C].

\int_{L}

f (x, y)

d s

=

{\begin{cases} 0, & f (- x, y) = - f (x, y), \\ 2 \int_{L_{1}} f (x, y) d s, & f (- x, y) = f (x, y) . \end{cases}

[D].

\int_{L}

f (x, y)

d s

=

{\begin{cases} 0, & f (- x, y) = - f (x, y), \\ \int_{2 L_{1}} f (x, y) d s, & f (- x, y) = f (x, y) . \end{cases}

答案

$\int_{L}$ $f (x, y)$ $d s$ $=$ ${\begin{cases} 0, & f (- x, y) = - f (x, y), \\ 2 \int_{L_{1}} f (x, y) d s, & f (- x, y) = f (x, y) . \end{cases}$

$f (- x, y)$ $=$ $-$ $f (x, y)$ $\Rightarrow$ $f (x, y)$ 是关于 $x$ 的奇函数.
$f (- x, y)$ $=$ $f (x, y)$ $\Rightarrow$ $f (x, y)$ 是关于 $x$ 的偶函数.

问题

已知

H

为积分路径

L

这条曲线的弧长，那么，当被积函数为

1

时，第一类曲线积分

\int_{L}

1

d s

=

?

选项

[A].

\int_{L}

1

d s

=

0

[B].

\int_{L}

1

d s

=

1

[C].

\int_{L}

1

d s

=

H

[D].

\int_{L}

1

d s

=

H^{\frac{2}{3}}

答案

$\int_{L}$ $1$ $d s$ $=$ $H$

问题

已知在积分路径

L

上，有函数

f (x, y)

, 则，根据带有绝对值情况下的第一类曲线积分的比较定理，以下选项正确的是哪个？

选项

[A].

|

\int_{L}

f (x, y)

d s

|

⩾

\int_{L}

|

f (x, y)

|

d s

[B].

|

\int_{L}

f (x, y)

d s

|

⩽

\int_{L}

|

f (x, y)

|

d s

[C].

|

\int_{L}

f (x, y)

d s

|

>

\int_{L}

|

f (x, y)

|

d s

[D].

|

\int_{L}

f (x, y)

d s

|

<

\int_{L}

|

f (x, y)

|

d s

答案

$|$ $\int_{L}$ $f (x, y)$ $d s$ $|$ $⩽$ $\int_{L}$ $|$ $f (x, y)$ $|$ $d s$

问题

已知在积分路径

L

上，有

f (x, y)

⩽

g (x, y)

, 则，根据第一类曲线积分的比较定理，以下选项正确的是哪个？

选项

[A].

\int_{L}

f (x, y)

d s

⩾

\int_{L}

g (x, y)

d s

[B].

\int_{L}

f (x, y)

d s

⩽

\int_{L}

g (x, y)

d s

[C].

\int_{L}

f (x, y)

d s

>

\int_{L}

g (x, y)

d s

[D].

\int_{L}

f (x, y)

d s

<

\int_{L}

g (x, y)

d s

答案

$\int_{L}$ $f (x, y)$ $d s$ $⩽$ $\int_{L}$ $g (x, y)$ $d s$

问题

已知

α

和

β

为常数，则，根据第一类曲线积分中常数的运算性质，以下选项中正确的是哪个？

选项

[A].

\int_{L}

[

α

f (x, y)

\pm

β

g (x, y)

]

d s

=

\frac{1}{α}

\int_{L}

f (x, y)

d s

\pm

\frac{1}{β}

\int_{L}

g (x, y)

d s

[B].

\int_{L}

[

α

f (x, y)

\pm

β

g (x, y)

]

d s

=

α

\int_{L}

f (x, y)

d s

\times

β

\int_{L}

g (x, y)

d s

[C].

\int_{L}

[

α

f (x, y)

\pm

β

g (x, y)

]

d s

=

α

\int_{L}

f (x, y)

d s

\mp

β

\int_{L}

g (x, y)

d s

答案

$\int_{L}$ $[$ $α$ $f (x, y)$ $\pm$ $β$ $g (x, y)$ $]$ $d s$ $=$ $α$ $\int_{L}$ $f (x, y)$ $d s$ $\pm$ $β$ $\int_{L}$ $g (x, y)$ $d s$ ~ $\int_{L}$ $[$ $α$ $f (x, y)$ $\pm$ $β$ $g (x, y)$ $]$ $d s$ $=$ $α$ $\int_{L}$ $f (x, y)$ $d s$ $\pm$ $β$ $\int_{L}$ $g (x, y)$ $d s$

第一类曲线积分中积分路径的可加性（B016）

问题

已知积分路径

L

=

L_{1}

+

L_{2}

, 则根据第一类曲线积分中积分路径的可加性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

\int_{L}

f (x, y)

d s

=

\int_{L_{1}}

f (x, y)

d s

+

\int_{L_{2}}

f (x, y)

d s

[B].

\int_{L}

f (x, y)

d s

=

\int_{\frac{L_{1}}{2}}

f (x, y)

d s

+

\int_{\frac{L_{2}}{2}}

f (x, y)

d s

[C].

\int_{L}

f (x, y)

d s

=

\int_{L - L_{1}}

f (x, y)

d s

+

\int_{L - L_{2}}

f (x, y)

d s

[D].

\int_{L}

f (x, y)

d s

=

\int_{L_{1}}

f (x, y)

d s

-

\int_{L_{2}}

f (x, y)

d s

答案

$\int_{L}$ $f (x, y)$ $d s$ $=$ $\int_{L_{1}}$ $f (x, y)$ $d s$ $+$ $\int_{L_{2}}$ $f (x, y)$ $d s$

积分区域关于平面 $z$ $=$ $y$ 对称时的轮换对称性（B015）

问题

若积分区域

Ω

关于平面

z

=

y

对称，则根据三重积分的轮换对称性，

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d V

=

?

选项

[A].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d V

=

∭_{Ω}

f (z, y, x)

d V

[B].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d V

=

∭_{Ω}

f (x, - z, - y)

d V

[C].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d V

=

-

∭_{Ω}

f (x, z, y)

d V

[D].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d V

=

∭_{Ω}

f (x, z, y)

d V

答案

$∭_{Ω}$ $f (x, y, z)$ $d V$ $=$ $∭_{Ω}$ $f (x, z, y)$ $d V$

积分区域关于平面 $x$ $=$ $z$ 对称时的轮换对称性（B015）

问题

若积分区域

Ω

关于平面

x

=

z

对称，则根据三重积分的轮换对称性，

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d V

=

?

选项

[A].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d V

=

-

∭_{Ω}

f (z, y, x)

d V

[B].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d V

=

∭_{Ω}

f (z, y, x)

d V

[C].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d V

=

∭_{Ω}

f (x, z, y)

d V

[D].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d V

=

∭_{Ω}

f (- z, y, - x)

d V

答案

$∭_{Ω}$ $f (x, y, z)$ $d V$ $=$ $∭_{Ω}$ $f (z, y, x)$ $d V$

积分区域关于平面 $y$ $=$ $x$ 对称时的轮换对称性（B015）

问题

若积分区域

Ω

关于平面

y

=

x

对称，则根据三重积分的轮换对称性，

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d V

=

?

选项

[A].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d V

=

∭_{Ω}

f (y, x, z)

d V

[B].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d V

=

∭_{Ω}

f (x, z, y)

d V

[C].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d V

=

∭_{Ω}

f (- y, - x, z)

d V

[D].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d V

=

-

∭_{Ω}

f (y, x, z)

d V

答案

$∭_{Ω}$ $f (x, y, z)$ $d V$ $=$ $∭_{Ω}$ $f (y, x, z)$ $d V$

关于 $z O x$ 面对称的三重积分的化简（B015）

问题

若积分区域

Ω_{1}

是位于积分区域

Ω

在

z O x

平面上方的部分，且积分区域

Ω

关于

z O x

平面对称，则以下关于三重积分

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

的化简，正确的是哪个选项？

选项

[A].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

{\begin{cases} 1, f (x, - y, z) = - f (x, y, z), \\ 2 ∭_{Ω_{1}} f (x, y, z) d v, f (x, - y, z) = f (x, y, z) \end{cases}

[B].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

{\begin{cases} 0, f (x, - y, z) = f (x, y, z), \\ 2 ∭_{Ω_{1}} f (x, y, z) d v, f (x, - y, z) = f (x, y, z) \end{cases}

[C].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

{\begin{cases} 0, f (x, - y, z) = - f (x, y, z), \\ 2 ∭_{Ω_{1}} f (x, y, z) d v, f (x, - y, z) = f (x, y, z) \end{cases}

[D].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

{\begin{cases} 0, f (x, - y, z) = - f (x, y, z), \\ \frac{1}{2} ∭_{Ω_{1}} f (x, y, z) d v, f (x, - y, z) = f (x, y, z) \end{cases}

答案

$∭_{Ω}$ $f (x, y, z)$ $d v$ $=$ ${\begin{cases} 0, f (x, - y, z) = - f (x, y, z), \\ 2 ∭_{Ω_{1}} f (x, y, z) d v, f (x, - y, z) = f (x, y, z) \end{cases}$

$f (x, - y, z)$ $=$ $-$ $f (x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $Ω$ 上关于 $y$ 为奇函数.
$f (x, - y, z)$ $=$ $f (x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $Ω$ 上关于 $y$ 为偶函数.

关于 $y O z$ 面对称的三重积分的化简（B015）

问题

若积分区域

Ω_{1}

是位于积分区域

Ω

在

y O z

平面上方的部分，且积分区域

Ω

关于

y O z

平面对称，则以下关于三重积分

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

的化简，正确的是哪个选项？

选项

[A].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

{\begin{cases} 1, f (- x, y, z) = - f (x, y, z), \\ 2 ∭_{Ω_{1}} f (x, y, z) d v, f (- x, y, z) = f (x, y, z) \end{cases}

[B].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

{\begin{cases} 0, f (- x, y, z) = f (x, y, z), \\ 2 ∭_{Ω_{1}} f (x, y, z) d v, f (- x, y, z) = f (x, y, z) \end{cases}

[C].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

{\begin{cases} 0, f (- x, y, z) = - f (x, y, z), \\ 2 ∭_{Ω_{1}} f (x, y, z) d v, f (- x, y, z) = f (x, y, z) \end{cases}

[D].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

{\begin{cases} 0, f (- x, y, z) = - f (x, y, z), \\ ∭_{Ω_{1}} f (x, y, z) d v, f (- x, y, z) = f (x, y, z) \end{cases}

答案

$∭_{Ω}$ $f (x, y, z)$ $d v$ $=$ ${\begin{cases} 0, f (- x, y, z) = - f (x, y, z), \\ 2 ∭_{Ω_{1}} f (x, y, z) d v, f (- x, y, z) = f (x, y, z) \end{cases}$

$f (- x, y, z)$ $=$ $-$ $f (x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $Ω$ 上关于 $x$ 为奇函数.
$f (- x, y, z)$ $=$ $f (x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $Ω$ 上关于 $x$ 为偶函数.

关于 $x O y$ 面对称的三重积分的化简（B015）

问题

若积分区域

Ω_{1}

是位于积分区域

Ω

在

x O y

平面上方的部分，且积分区域

Ω

关于

x O y

平面对称，则以下关于三重积分

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

的化简，正确的是哪个选项？

选项

[A].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

{\begin{cases} 0, f (x, y, z) = - f (x, y, z), \\ 2 ∭_{Ω_{1}} f (x, y, z) d v, f (x, y, - z) = f (x, y, z) \end{cases}

[B].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

{\begin{cases} 0, f (x, y, - z) = f (x, y, z), \\ 2 ∭_{Ω_{1}} f (x, y, z) d v, f (x, y, - z) = f (x, y, z) \end{cases}

[C].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

{\begin{cases} 0, f (x, y, - z) = - f (x, y, z), \\ 2 ∭_{Ω_{1}} f (x, y, z) d v, f (x, y, - z) = f (x, y, z) \end{cases}

[D].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

{\begin{cases} 0, f (x, y, - z) = - f (x, y, z), \\ ∭_{Ω_{1}} f (x, y, z) d v, f (x, y, - z) = f (x, y, z) \end{cases}

答案

$∭_{Ω}$ $f (x, y, z)$ $d v$ $=$ ${\begin{cases} 0, f (x, y, - z) = - f (x, y, z), \\ 2 ∭_{Ω_{1}} f (x, y, z) d v, f (x, y, - z) = f (x, y, z) \end{cases}$

$f (x, y, - z)$ $=$ $-$ $f (x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $Ω$ 上关于 $z$ 为奇函数.
$f (x, y, - z)$ $=$ $f (x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $Ω$ 上关于 $z$ 为偶函数.

三重积分的中值定理（B014）

问题

已知函数

f (x, y, z)

在闭合积分区域

Ω

上连续，

V

为积分区域

Ω

的体积，则，根据三重积分的中值定理，在区域

Ω

上至少存在一点

(ξ, η, ζ)

, 使得下列哪项成立？

选项

[A].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

f [(ξ + V), (η + V), (ζ + V)]

[B].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

f (ξ, η, ζ)

\cdot

\frac{1}{V}

[C].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

f (ξ, η, ζ)

+

V

[D].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

f (ξ, η, ζ)

\cdot

V

答案

$∭_{Ω}$ $f (x, y, z)$ $d v$ $=$ $f (ξ, η, ζ)$ $\cdot$ $V$

三重积分的比较定理（B014）

问题

若在积分区域

Ω

上恒有

f (x, y, z)

⩽

g (x, y, z)

, 则根据三重积分的比较定理，以下哪个选项是正确的？

选项

[A].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

⩾

∭_{Ω}

g (x, y, z)

d v

[B].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

⩽

∭_{Ω}

g (x, y, z)

d v

[C].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

>

∭_{Ω}

g (x, y, z)

d v

[D].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

<

∭_{Ω}

g (x, y, z)

d v

答案

$∭_{Ω}$ $f (x, y, z)$ $d v$ $⩽$ $∭_{Ω}$ $g (x, y, z)$ $d v$