$$\int \textcolor{Red}{e^{-x}} \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{-e^{-x}} + \textcolor{Yellow}{C}.$$其中，$e$ 表示自然对数的底数，$C$ 为任意常数.
若由 $A$ 能够推导出 $B$, 但是由 $B$ 不能够推导出 $A$, 则称 $A$ 是 $B$ 的充分不必要条件（$B$ 的充分不必要条件是 $A$.）。
从集合的角度看，就是 $A \in B$, 如图 1：
下列命题中正确的是（）
( A ) 若 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $\geqslant$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$, 则 $\exists$ $\varepsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_{0}|$ $<$ $\varepsilon$ 时，$f(x)$ $\geqslant$ $g(x)$.
( B ) 若 $\exists$ $\varepsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_{0}|$ $<$ $\varepsilon$ 时，$f(x)$ $>$ $g(x)$, 且 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A_{0}$, $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$ $=$ $B_{0}$, 则 $A_{0}$ $>$ $B_{0}$.
( C ) 若 $\exists$ $\varepsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_{0}|$ $<$ $\varepsilon$ 时，$f(x)$ $>$ $g(x)$, 则 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $\geqslant$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$.
( D ) 若 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $>$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$, 则 $\exists$ $\varepsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_{0}|$ $<$ $\varepsilon$ 时，$f(x)$ $>$ $g(x)$.
概念考察题是考研数学中一类比较难的题，这类题的难点在于除了紧抠概念之外，解答者没有多少可以自由发挥的空间。而且，概念考察题考察的都是概念的细微之处，一不留神就可能审错题。
从本题的四个选项可以看出，本题考查的着重点在函数极限这一部分。更细致的来看，本题考查了函数极限的定义中当 $x$ $\rightarrow$ $x_{0}$ 时的极限的定义，如下：
已知 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A$
任给 $\varepsilon$ $>$ $0$, 存在正数 $\delta$, 当 $0$ $<$ $(x$ $-$ $x_{0})$ $<$ $\delta$ 时，就有 $|f(x)-A|$ $<$ $\varepsilon$.
注：上面这个定义说的通俗一点就是，当 $x$ 与 $x_{0}$ 足够接近的时候，$f(x)$ 与 $f(x)$ 的极限 $A$ 也足够接近。
本题还考察了函数极限的性质中的“保号性”，如下：
设 $\lim$ $f(x)$ $=$ $A$ $>$ $0$, 则在极限管辖的范围内，$f(x)$ $>$ $0$ $($ $f(x)$ $>$ $\frac{A}{2}$ $)$.
反之，$f(x)$ $>$ $0$ 且 $\lim$ $f(x)$ $=$ $A$ $\Rightarrow$ $A$ $\geqslant$ $0$.
注：当 $x$ $\rightarrow$ $x_{0}$ 时，“极限管辖的范围”指的就是 $x_{0}$ 的去心邻域；当 $x$ $\rightarrow$ $\infty$ 时，“极限管辖的范围”指的就是无穷远处。
对于函数极限的性质中的保号性，我们需要明确以下几点：
以下是对本题中每一个选项的分析。
该选项给出了：
$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $\geqslant$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$.
这说明 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的极限都存在（满足了研究极限问题的大前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤）且 $f(x)$ 的极限大于等于 $f(x)$ 的极限。
于是，我们有：
$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $($ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $)$ $\geqslant$ $0$.
接下来选项给出了：
若 $\exists$ $\varepsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_{0}|$ $<$ $\varepsilon$ 时
这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法，具备使用保号性的前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。
该选项接下来指出，由上面的条件可以推出 $f(x)$ $\geqslant$ $g(x)$.
这个结论是不对的。原因如下：
若函数 $f(x)$ 的极限 $A$ $>$ $0$, 则可以推出函数 $f(x)$ $>$ $0$;
若函数 $f(x)$ 的极限 $A$ $<$ $0$, 则可以推出函数 $f(x)$ $<$ $0$;
若函数 $f(x)$ 的极限 $A=0$, 则不能确定函数 $f(x)$ 是大于 $0$, 小于 $0$ 还是等于 $0$. 原因是，如果 $A$ $=$ $0$ 我们不知道函数 $f(x)$ 是在大于 $0$ 的方向上趋近于极限 $A$, 还是在小于 $0$ 的方向上趋近于极限 $A$, 抑或 $f(x)$ $=$ $0$.
如图 1 所示，当函数的极限等于 $0$ 时，函数可能是大于 $0$ 的：
如图 2 所示，当函数的极限等于 $0$ 时，函数也可能是小于 $0$ 的：
第三种情况，当函数的极限等于 $0$ 时，函数可能也是等于 $0$ 的，如图 3 所示：
因此，已知极限 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\geqslant$ $0$, 并不能推导出函数 $F(x)$ $=$ $[$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $]$ $\geqslant$ $0$.
综上可知，选项 A 是错误的。
题目中给出了如下条件：
若 $\exists$ $\varepsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_{0}|$ $<$ $\varepsilon$ 时
因此，本题符合函数极限保号性的使用条件，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。
接着，该选项给出：
$f(x)$ $>$ $g(x)$
于是，当我们令 $F(x)$ $=$ $f(x)$ $-$ $g(x)$ 时，可以得出如下结论：
$F(x)$ $>$ $0$
接着，该选项又给出：
$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A_{0}$, $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$ $=$ $B_{0}$
这说明函数 $f(x)$ 和函数 $g(x)$ 都是存在极限的，符合我们研究函数极限问题的大前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。
最后，该选项给出了他的结论：
$A_{0}$ $>$ $B_{0}$
有了这个结论，结合前面的条件，我们可以把该选项改写成如下形式：
已知函数 $F(x)$ 存在极限，且函数 $F(x)$ $>$ $0$, 则 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $F(x)$ $>$ $0$.
这个结论显然是错误的，因为已知函数大于 $0$ 的时候，其极限是可能等于 $0$ 的，例如对 A 选项的解析中给出的图 1, 函数 $f(x)$ $=$ $\frac{1}{x}$ 始终是大于 $0$ 的，但是其极限却是等于 $0$ 的。
综上可知，选项 B 是错误的。
该选项的错误比较明显，因为选项中没有指明函数 $f(x)$ 和函数 $g(x)$ 的极限存在，缺少了研究极限问题的大前提，那么，接下来的所有说明和结论都是没有根据也没有意义的。不过，如果 C 选项像 B 选项一样指明函数 $f(x)$ 和函数 $g(x)$ 的极限是存在的，那么该选项的表述就是正确的，原因在 B 选项中已经分析过。
综上可知，选项 C 是错误的。
该选项首先给出了如下条件：
$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $>$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$
若我们令 $F(x)$ $=$ $f(x)$ $-$ $g(x)$, 则上面的条件可以改写成：
$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $F(x)$ $>$ $0$
接着选项给出了：
若 $\exists$ $\varepsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_{0}|$ $<$ $\varepsilon$ 时
这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法，具备使用保号性的前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。
接着，该选项给出了它的结论：
$f(x)$ $>$ $g(x)$
根据前面的分析可知，我们可以将此改写成：
$F(x)$ $>$ $0$
我们知道，当一个函数的极限存在且大于 $0$ 的时候，在函数极限的管辖范围内，可以推导出该函数也大于 $0$.
综上可知，选项 D 是正确的。
EOF
判断函数 $f(x)$ $=$ $\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})$ 的奇偶性。
$\log_{a}(MN)$ $=$ $\log_{a}M$ $+$ $\log_{a}N$
在 MATLAB (下面的代码在 MATLAB 9.1.0.441655 (R2016b) 中测试通过) 中输入如下代码：
x=0:0.01:10; semilogy(x,log(x))
可以绘制出 $y$ $=$ $\ln(x)$ 的图像：
有图像可以看到，自然对数 $\ln(x)$ 只在 $(0,+\infty)$ 的区间里有定义，不符合对数函数或者偶数函数对于“定义域 $X$ 关于原点对称”的要求。不过题目中的函数可以看作是一个符合函数，因此，我们还需要结合 $g(x)$ $=$ $x$ $+$ $\sqrt{1+x^{2}}$ 的定义域来确定 $f(x)$ 的定义域。
因为：
$\sqrt{1+x^{2}}$ $>$ $\sqrt{x^{2}}$ $>$ $|x|$ $>$ $0$.
则：
当 $x$ $\in$ $(-\infty,+\infty)$ 时 $x$ $+$ $\sqrt{1+x^{2}}$ $>$ $0$ 满足自然对数函数 $\ln(x)$ 对定义域的要求，而且，当 $x$ $=$ $0$ 时，$f(x)$ $=$ $\ln(1)$ $=$ $0$ , 也满足奇函数“当 $f(x)$ 在原点处有定义时，$f(0)$ $=$ $0$”的要求。
到这里，定义域的问题解决了，下面要解决的是函数是关于 $y$ 轴对称，还是关于原点对称的问题。
由于：
$f(x)$ $=$ $\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})$
$f(-x)$ $=$ $\ln(-x+\sqrt{1+x^{2}})$
则：
$f(x)$ $+$ $f(-x)$ $=$ $\ln(\sqrt{1+x^{2}}+x)$ $+$ $\ln(\sqrt{1+x^{2}}-x)$ $=$ $\ln[(\sqrt{1+x^{2}}+x)(\sqrt{1+x^{2}}-x)]$ $=$ $\ln(1+x^{2}-x^{2})$ $=$ $\ln(1)$ $=$ $0$
上面的运算结果符合奇函数的定义，因此，$f(x)$ $=$ $\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})$ 是一个奇函数。
此外，使用 WolframAlpha 画出的函数 $f(x)$ $=$ $\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})$ 的图像如下：
由图像我们也可以看出这是一个奇函数。
EOF
$f(x)$ $=$ $\sqrt{1+x}$ $+$ $\sqrt{1-x}$ $-$ $2$
${f}'(x)$ $=$ ${(\sqrt{1 + x})}’$ $+$ ${(\sqrt{1 – x})}’$ $+$ ${2}’$ $=$ ${((1 + x)^{\frac{1}{2}})}’$ $+$ ${((1 – x)^{\frac{1}{2}})}’$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ $=$ $\frac{1}{2 \sqrt{1+x}}$ $+$ $\frac{1}{2 \sqrt{1-x}}$
上面这个计算过程是错的，错误的原因是在计算 $\sqrt{1+x}$ 的导数时把 $1+x$ 视作了自变量，也就是说把 $1$ $+$ $x$ 视作了求导对象；而在对 $\sqrt{1-x}$ 求导时，又把 $1$ $-$ $x$ 看作了求导自变量。
很显然，一个二维函数中不可能有两个不同的自变量，而且根据约定可知，当式子中出现 $f(x)$ 或者 $lim_{x \to 0}$ 时，就表明这个式子中的自变量是 $x$ 且求导也要对 $x$ 求导。
这里我们可以使用复合函数求导的链式法则计算本例题，复合函数的链式求导法则如下：
设 $y$ $=$ $f(u)$, $u$ $=$ $\mu(x)$, 如果 $\mu(x)$ 在 $x$ 处可导，$f(x)$ 在对应点 $u$ 处可导，则复合函数 $y$ $=$ $f[\mu(x)]$ 在 $x$ 处可导，且有：
$\frac{dy}{dx}$ $=$ $\frac{dy}{du}$ $\frac{du}{dx}$ $=$ ${f}'[\mu(x)]{\mu}'(x)$
于是，对于例题的正确求导过程如下：
${f}'(x)$ $=$ ${(\sqrt{1 + x})}’$ $+$ ${(\sqrt{1 – x})}’$ $+$ ${2}’$ $=$ ${((1 + x)^{\frac{1}{2}})}’$ $+$ ${((1 – x)^{\frac{1}{2}})}’$ $=$ $\frac{1}{2}(1 + x)^{-\frac{1}{2}}$ $+$ $\frac{1}{2}$ $(1 – x)^{-\frac{1}{2}}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $(1 + x)^{-\frac{1}{2}} \times {(x)}’$ $+$ $\frac{1}{2}$ $(1 – x)^{-\frac{1}{2}} \times {(-x)}’$ $=$ $\frac{1}{2\sqrt{1+x}} – \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}$
