标签： 考研数学二

一、前言

罗尔定理是微分学中的一个非常重要的定理，也是引出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基础。但是，对罗尔定理的传统证明方法并不能非常直观的反映出罗尔定理的性质（不过，本文中仍然会给出基于传统数学方法的罗尔定理证明），所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用一种原创的方式，通过一个非常自然的过程，证明罗尔定理，因为我相信——

只 要 是 正 确 的 数 学 定 理 ，都 具 有 不 证 自 明 的 性 质 ，只 是 需 要 我 们 更 换 一 下 观 察 和 思 考 的 角 度 。

继续阅读“罗尔定理的本质：基于圆形的几何逻辑证明罗尔定理”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过汽车在公路上行驶时的加速和减速过程，来帮助同学们理解函数在一点处的可导性，或者说函数在一点处导数的存在性。

继续阅读“用汽车的加速度理解导数的存在性（一点处的可导性）”

一、题目

继续阅读“微分中的一个定理：$ds=1$”

一、前言

根据罗尔定理可知，如果函数 $f(x)$ 满足在闭区间 $[a,b]$ 上连续；在开区间 $(a,b)$ 内可微分；在区间端点处的函数值相等，即 $f(a)=f(b)$, 则至少有一个点 $\xi \in (a,b)$, 使得 $f^{\prime }(\xi )=0$, 也就是说，$\xi$ 就是函数 $f(x)$ 的一个驻点。

那么，如果，$f(a)=f(b)=0$, 也就是函数 $f(x)$ 与坐标轴的 $X$ 轴存在两个交点 $a$ 和 $b$ 的时候，是否就意味着在区间 $(a,b)$ 上一定会存在至少一个函数 $f(x)$ 的驻点呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们深入图解这一问题。

继续阅读“有 $N$ 个零点的函数，一定至少有 $N-1$ 个驻点吗？”

一、前言

在高等数学的学习和做题中，我们常常能看到，在表述极值点的时候，只是用了横坐标，那么，极 值 点 究竟是一个“ 点 ”吗？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们解开疑惑。

继续阅读“极值点是一个点吗？”

一、前言

关于“ 驻 点 ”到底是不是一个“ 点 ”，同学们在不同的学习资料中可能看到不同的结论。在本文中，「荒原之梦考研数学」将剖析造成这种“争议”的根本原因，消除同学们在理解“驻点”这一概念时的障碍。

继续阅读“驻点不是一个点吗？”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过一张关系图，为同学们讲解清楚与原函数和其一阶导函数相关的尖点、驻点、极值点、闭区间端点和最值点这 5 个“点”之间的包含和层次关系。

继续阅读“与原函数和一阶导函数相关的五个“点”之间的关系图：尖点、驻点、极值点、端点、最值点”

一、前言

下面的函数怎么做求导操作，计算速度更快一些：

$$\begin{array}{rl}{y}_1& ={(x-1)}^3\cdot {(x-2)}^3\\ \\ y_2& ={(x-1)}^3\cdot {(x-2)}^6\end{array}$$

继续阅读“快速求导的策略：幂指数相同时先合并幂指数”

一、前言

我们知道，所谓周期函数就是满足下式的函数：

$$f(x+T)=f(x)$$

其中，常数 $T\ne 0$ 就是周期函数 $f(x)$ 的最小正周期。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将定义一种具有和周期函数类似性质的“波纹函数”——

由于水波函数和周期函数具有一定程度上相似的性质，所以，我们在做题的时候，可以借助对周期函数的研究思路和研究波纹函数。

继续阅读“周期函数的兄弟：波纹函数”

一、题目

继续阅读“乘积的极限存在，因子的极限不一定也都存在”

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《高等数学中常见的2+5种”真未定式”和1+1种”假未定式”的解题思路图》这篇文章中，我们知道 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 是两种核心未定式。

既然是“未定式”，那么就存在“定”和“不定”两种状态：“定”就是存在极限，“不定”就是不存在极限。

在本文中，我们就主要讨论一下，当 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 存在极限的情况下，其分子和分母的正负性与式子极限的正负性之间关系的问题。

继续阅读“关于 $0/0$ 和 $\mathrm{\infty }/\mathrm{\infty }$ 型极限的正负性”