考研数学一归档 - 荒原之梦

极值点是一个点吗？

一、前言

在高等数学的学习和做题中，我们常常能看到，在表述极值点的时候，只是用了横坐标，那么，极值点究竟是一个“ 点 ”吗？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们解开疑惑。

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驻点不是一个点吗？

一、前言

关于“ 驻点 ”到底是不是一个“ 点 ”，同学们在不同的学习资料中可能看到不同的结论。在本文中，「荒原之梦考研数学」将剖析造成这种“争议”的根本原因，消除同学们在理解“驻点”这一概念时的障碍。

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与原函数和一阶导函数相关的五个“点”之间的关系图：尖点、驻点、极值点、端点、最值点

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过一张关系图，为同学们讲解清楚与原函数和其一阶导函数相关的尖点、驻点、极值点、闭区间端点和最值点这 5 个“点”之间的包含和层次关系。

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快速求导的策略：幂指数相同时先合并幂指数

一、前言

下面的函数怎么做求导操作，计算速度更快一些：

$\begin{aligned} y_{1} & = {(x - 1)}^{3} \cdot {(x - 2)}^{3} \\ y_{2} & = {(x - 1)}^{3} \cdot {(x - 2)}^{6} \end{aligned}$

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周期函数的兄弟：波纹函数

一、前言

我们知道，所谓周期函数就是满足下式的函数：

$f (x + T) = f (x)$

其中，常数 $T \neq 0$ 就是周期函数 $f (x)$ 的最小正周期。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将定义一种具有和周期函数类似性质的“波纹函数”——

由于水波函数和周期函数具有一定程度上相似的性质，所以，我们在做题的时候，可以借助对周期函数的研究思路和研究波纹函数。

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乘积的极限存在，因子的极限不一定也都存在

一、题目

已知 $f (x)$ 在 $x = 0$ 的某个邻域内连续，且 $lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{1 - \cos x}$ $=$ $- 16$ , 则在点 $x = 0$ 处 $f (x)$ ( )

»A« 取得极大值.

»C« 不可导.

»B« 取得极小值.

»D« 可导，且 $f^{'} (0) \neq 0$ .

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关于 $0 / 0$ 和 $\infty / \infty$ 型极限的正负性

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《高等数学中常见的2+5种”真未定式”和1+1种”假未定式”的解题思路图》这篇文章中，我们知道 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 是两种核心未定式。

既然是“未定式”，那么就存在“定”和“不定”两种状态：“定”就是存在极限，“不定”就是不存在极限。

在本文中，我们就主要讨论一下，当 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 存在极限的情况下，其分子和分母的正负性与式子极限的正负性之间关系的问题。

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峰式特例法：所有 $n$ 维向量都可以尝试假定为一维向量

一、题目

已知 $A$ $=$ $E - 2 α α^{⊤}$ , $α$ 为 $n$ 维列向量，且 $α^{⊤} α$ $=$ $1$ , 则：

$A^{2 n} = ?$

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在极限问题中，不要相信任何一个“等号”

一、题目

$I = lim_{x \to + \infty} [\frac{x^{1 + x}}{(1 + x)^{x}} - \frac{x}{e}] = ?$

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基于乘除法相对含量的式子复杂度定义

一、前言

不同的数学式子之间相对而言的复杂度肯定是不相同的，但是，我们该如何衡量这里所说的“复杂度”呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」基于乘除法和加减法计算难度的不同，提出了一种衡量式子复杂度的新方式。

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求导运算和次幂运算“强相关”的函数一般就是倒数函数

一、题目

若函数 $f (x)$ 具有任意阶导数，且 $f^{'} (x)$ $=$ $f^{2} (x)$ , 则当 $n$ 为大于等于 $2$ 的正整数时， $f (x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)} (x)$ $=$ $?$

»A« $n! f^{2 n} (x)$

»B« $n! f^{n + 1} (x)$

»C« $n f^{2 n} (x)$

»D« $n f^{n + 1} (x)$

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高等数学中常见的2+5种”真未定式”和1+1种”假未定式”的解题思路图

一、前言

在高等数学中，极限问题是一类非常重要的问题。而极限类问题又常常表现为一些未定式的形式。

但是，什么样的式子是“ 真未定式 ”？什么样的式子是“ 假未定式 ”？对于这些未定式我们又该使用什么样的方法进行转换呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过解题思路简图为同学们做一个详细的讲解。

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为什么“尖点”一定是不可导点？因为尖点不是“双胞胎点”

一、前言

传统上，关于“尖点为什么不可导”，其实并不构成一个“问题”，因为，尖点就是依据其不可导性被定义的。

但是，在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于最基本的数学公理，从全新的“峰”式视角，为同学们解释为什么尖点一定是不可导点，从而让同学们对有关知识建立更加深刻和形象的理解。

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判断一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法

一、前言

直观上来说，所谓“尖点”就是很“尖”的点。但是到底有多“尖”才能算尖点呢？

如果用传统的数学语言对尖点进行表述，那就是曲线上的动点在移动的时候，移动方向会瞬间发生改变的点，也就是导数的正负（切线的方向）突然发生改变的点。

例如，图 01 和图 02 中的点 $O (0, 0)$ 都是尖点，在点 $O (0, 0)$ 的左右两侧，导数的正负发生了改变：

判度一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法 | 荒原之梦考研数学 | 图 01. 函数 y = |x| 的函数图象. — 图 01. 函数 $y$ $=$ $| x |$ 的函数图象.

判度一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法 | 荒原之梦考研数学 | 图 02. 函数 y = \sqrt{|x|} 的函数图象. — 图 02. 函数 $y$ $=$ $\sqrt{| x |}$ 的函数图象.

但是，上述中传统的数学方法，很难用于在直观上判断什么点是尖点，什么点不是尖点。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过独创的“ 落圆法 ”，让同学们利用直观的几何性质理解“ 尖点 ”和“ 非尖点 ”的区别。

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峰式思维：等于零和趋于零在计算的时候到底有啥区别？

一、前言

在进行极限计算的时候，我们常常会遇到 $x = 0$ 或者 $x \to 0$ 的情况。那么，在具体计算的时候，我们该如何区分等于零和趋于零在计算过程中的不同性质和作用呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于“峰式思维”为同学们介绍一种解决该问题的“不严谨”但很实用的方法。

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