一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将从矩阵的特征值、特征向量与相似对角化的定义出发，为同学们讲解清楚求解矩阵相似对角化中可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的步骤.
继续阅读“求解矩阵相似对角化中可逆矩阵 P 的步骤”有关这一步骤正确性的证明，可以查阅《矩阵 A 相似对角化中的可逆矩阵 P 为什么是由矩阵 A 的特征向量组成的？》这篇文章.
「荒原之梦考研数学」文章
解这道题不需要记住公式，只需要撕下两个“纸条”
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 阶的矩阵，$\boldsymbol{B}$ 为 $n \times m$ 阶的矩阵，$\boldsymbol{E}$ 为 $m$ 阶的单位矩阵，若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{E}$, 则下面的选项中，正确的是哪一个？
⟨A⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $n$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $n$.
⟨B⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $m$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $n$.
⟨C⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $n$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $m$.
⟨D⟩. $\mathrm{r} (\boldsymbol{A})$ $=$ $m$, $\mathrm{r} (\boldsymbol{B})$ $=$ $m$.
峰式图：通过构建折线形矩阵研究矩阵秩的几何形态及矩阵的秩在矩阵乘法运算中表现出的性质
目录
一、前言
二、正文
§2.1 折线形矩阵的定义
§2.1.1 稳态矩阵
§2.1.2 折线形矩阵
§2.2 折线形矩阵中矩阵秩的确定
§2.3 折线形矩阵的矩阵乘法运算及矩阵秩的变化
§2.3.1 基于折线形矩阵拆解矩阵乘法运算并构建投射关系图
§2.3.2 基于矩阵乘法的投射关系图构建叠影关系图
§2.3.3 基于矩阵乘法的叠影关系图证明矩阵乘法中秩的变化性质
§2.4 折线形矩阵的矩阵乘法运算及一些几何性质
三、总结
一、前言
在本文中，「荒原之梦」将通过定义折线形矩阵的方式，将矩阵的秩几何化，并通过推导得到的几何化视角，在矩阵乘法运算过程中，观察矩阵秩的变化.
继续阅读“峰式图：通过构建折线形矩阵研究矩阵秩的几何形态及矩阵的秩在矩阵乘法运算中表现出的性质”什么是“峰式图”：
峰式图指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰式图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵的秩该怎么判断？
一、前言
在「荒原之梦考研数学」的《满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵是否满秩？》这篇文章中，我们知道：
- 两个同阶满秩的方阵相乘所得的矩阵一定也满秩；
- 两个同阶的方阵，如果一个满秩一个不满秩，则相乘得到的矩阵一定不满秩.
而在本文中，我们就通过具体的公式推导，来看看，满秩或者不满秩的方阵相乘，所得的矩阵的秩为什么值.
继续阅读“满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵的秩该怎么判断？”求解逆矩阵的常用方法
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们汇总一下求解逆矩阵的常用方法.
二、正文
在本文中，我们设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是可逆矩阵.
方法 1：定义法
根据逆矩阵的定义，我们知道，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 互为逆矩阵，则有：
$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}
$$
因此，我们可以用逆矩阵的定义来求解逆矩阵，即：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{B}, \ \boldsymbol{B}^{-1} = \boldsymbol{A}
}
$$
方法 2：伴随矩阵法
根据伴随矩阵的定义，我们知道：
$$
\boldsymbol{A}^{*} = \boldsymbol{A}^{-1} \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}
$$
于是，我们可以用伴随矩阵的定义来求解逆矩阵，即：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{A}^{-1} = \frac{\boldsymbol{A}^{*}}{ \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} }
}
$$
方法 3：分块矩阵法
对于分块矩阵，我们可以使用下面的公式快速求解其逆矩阵：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{bmatrix} \\ \\
& \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \end{bmatrix}
\end{aligned}
}
$$
有关分块矩阵的更多运算性质，可以查阅这篇文章.
方法 4：初等变换法
根据《初等变换求逆法的形象理解》这篇文章可知——
对于矩阵 $\boldsymbol{A}$, 我们可以用初等行变换的方式得到其逆矩阵，即：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E}
\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{初等行变换}} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{E} \mid \boldsymbol{A}^{-1}
\end{pmatrix}
}
$$
也可以用初等列变换的方式得到其逆矩阵，即：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{E}
\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{初等列变换}} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{E} \\
\boldsymbol{A}^{-1}
\end{pmatrix}
}
$$
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！
峰说 | 真正的会做题，是从 0 开始的
正处在考研数学入门阶段的同学在做题的时候，常常会有这样的一种体验：明明上一题已经理解得很明白了，但是对于下一道同样类型的题目，却又变得无从下手。
为什么会出现这样的问题呢？
如果将完全掌握一道题目的解法所需要走过的路线长度定义为“100 米”，那么，很多时候，我们能从解析里面看到的路线，以及自己掌握的路线只是从第 10 米到第 90 米——因为，很多参考资料的解析，都是首先要求我们认同其第 0 步（即：直接抛出某个定理，或者直接列出来一个式子），接着再展示后续步骤的求解过程，而完全没有说明白怎么得到的这样一个解题思路（为什么想到要用这个定理？或者怎么才能列出这样一个式子？）：
甚至在从第 10 米走到第 90 米的过程中间还跳过了一些步骤：
即便我们非常认真地掌握了参考资料给出的题目解析，但是，很多解析存在的一个严重问题是，对于有些思路，其并没有给出完整的思考过程，我们只知道要这么做，却不知道怎么想到要这么做，因此，只相当于从第 10 米走到了第 100 米：
对于一些解析更加简略的参考资料，则就相当于从第 20 米走到了第 100 米：
而我们真正需要的是从第 0 米到第 100 米的完整解析过程，以及对这个解析过程的理解：
所以，没有从 0 开始真正理解一道题目的求解过程，就是很多同学为什么看解析能看懂，但是自己做题就不会做的根本原因，因为，如果不知道一道题目是怎么从 0 开始求解的，那么，对于一道新的题目，我们往往就不知道解题的“道路”在哪里，接下来的解题过程，也就无从谈起了。
所以，在「荒原之梦考研数学」对于知识点和题目的解析过程中，一直非常重视是否讲清楚了一个思路的第 0 步——第 0 步虽然通常是一些非常基础的概念，甚至是常识，但却常常能够决定我们是否选对了解题的思路，进而决定了我们是否能正确解题，以及解题的速度。
有关自然常数 e 极限公式的两个常见变形
已知公式
对于自然常数 $\mathrm{e}$, 我们有：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = \mathrm{e}
$$
变形一
题目
已知 $a$ 为正整数，则：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{ax} = ?
$$
解析
$$
\begin{aligned}
\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{ax} & = \left[\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{a} \\ \\
& = \mathrm{e}^{a}
\end{aligned}
$$
变形二
已知 $a$ 为正整数，则：
$$
\lim_{x \rightarrow 0}(1 + ax)^{\frac{1}{x}} = ?
$$
解析
首先，令 $y = (ax)^{-1}$, 即：
$$
ax = \frac{1}{y}, \ x = \frac{1}{ay}, \ y \rightarrow \infty
$$
于是：
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \rightarrow 0} (1 + ax)^{\frac{1}{x}} & = \lim_{y \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^{ay} \\ \\
& = \lim_{y \rightarrow \infty} \left[ \left(1 + \frac{1}{y}\right)^{y} \right]^{a} \\ \\
& = \mathrm{e}^{a}
\end{aligned}
$$
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！
满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵是否满秩？
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过多种方式，证明以下两个结论：
- 两个同阶满秩的方阵相乘所得的矩阵一定也满秩；
- 两个同阶的方阵，如果一个满秩一个不满秩，则相乘得到的矩阵一定不满秩.
矩阵秩的性质汇总
平方与求导或许可以将被积函数中次幂不同的部分凑成相同的次幂
一、前言
我们知道，在对一个式子进行积分的时候，如果式子中自变量的次幂都是相同的，就会比较方便进行运算.
我们还知道，平方运算可以让一个式子的次幂增加（反过来看就是减少），例如 $\left( x^{\textcolor{#00bffe}{3}} \right)^{2}$ $=$ $x^{\textcolor{#00bffe}{6}}$; 而每次求导运算可以将一个式子的次幂减少 $1$ 次，例如 $\mathrm{d} \left( x^{\textcolor{yellow}{3}} \right)$ $=$ $\frac{1}{3} x^{\textcolor{yellow}{2}} \mathrm{~d} x$.
所以，对于被积函数中次幂不同部分，可以尝试通过平方运算与求导运算结合使用的方式，凑成相同的次幂.
继续阅读“平方与求导或许可以将被积函数中次幂不同的部分凑成相同的次幂”2019年考研数二第22题解析：等价矩阵、线性表达
一、题目
已知向量组 Ⅰ: $\boldsymbol{\alpha}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ a^{2} + 3 \end{bmatrix}$, Ⅱ: $\boldsymbol{\beta}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ a + 3 \end{bmatrix}$, $\boldsymbol{\beta}_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 – a \end{bmatrix}$, $\boldsymbol{\beta}_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ a^{2} + 3 \end{bmatrix}$. 若向量组 Ⅰ 与 Ⅱ 等价，求 $a$ 的取值，并将 $\boldsymbol{\beta}_{3}$ 用 $\boldsymbol {\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示.
难度评级：
二、解析
§2.1 求 $a$ 的取值
首先，由于等价矩阵一定包含相似矩阵，所以，等价矩阵和相似矩阵一样，都具有下面的链式等秩公式：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix}
} \tag{1}
$$
其中，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 互为等价矩阵或者相似矩阵.
接着，令：
$$
\begin{align}
\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{A} } & = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3} \end{pmatrix} = \textcolor{lightgreen}{ \begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & 1 \\
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} & 2 \\
4 & 4 & a^{2} + 3
\end{bmatrix} } \tag{2} \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{B} } & = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3} \end{pmatrix} = \textcolor{lightgreen}{ \begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} & 1 \\
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{2}} & 3 \\
a+3 & 1-a & a^{2} + 3
\end{bmatrix} } \tag{3}
\end{align}
$$
由于向量组 $I$ 与 $II$ 等价，所以，对应的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 也互为等价矩阵.
观察上面的 $(2)$ 式和 $(3)$ 式可知，一定有（绿色背景白色文字的元素构成的二阶子式不等于零）：
$$
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} \geqslant 2, \ \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \geqslant 2
$$
所以，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的秩的可能的取值都有两个，即 $\mathrm{r}$ $=$ $2$ 或者 $\mathrm{r}$ $=$ $3$. 于是，根据《图解等价/相似矩阵的链式等秩公式》这篇文章第三节的结论，我们需要使用涵盖三个矩阵的等秩公式：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}
} \tag{4}
$$
于是，我们接下来要构造出矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$, 并对其做一些初等行变换（不能做初等列变换，因为这可能会导致属于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量和属于矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量混合在一起，从而使得到的矩阵不再是矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$， 而是其他的矩阵），消出一些 $0$ 元素：
$$
\begin{align}
\textcolor{lightgreen}{ \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} } & = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 1 & 2 & 3 \\
4 & 4 & a^{2} + 3 & a+ 3 & 1 – a & a^{2} + 3
\end{bmatrix} \notag \\ \notag \\
& = \textcolor{lightgreen}{ \begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & 1 & 1 & 0 & 1 \\
\textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{-1}} & 1 & 0 & 2 & 2 \\
0 & 0 & a^{2} – 1 & a – 1 & 1 – a & a^{2} – 1
\end{bmatrix} } \tag{4}
\end{align}
$$
接着，观察上面的 $(2)$, $(3)$, $(5)$ 式可知，一定有（绿色背景白色文字的元素构成的二阶子式不等于零）：
$$
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} \geqslant 2, \ \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \geqslant 2, \ \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \geqslant 2
$$
所以，上面的 $(4)$ 式能否成立，主要就取决于 $(2)$, $(3)$, $(5)$ 式对应的矩阵中，第三行元素是否都为（或者可以消为）$0$ 元素；或者是否都不为 $0$ 元素——
或者说，上面的 $(4)$ 式能否成立，主要就取决于矩阵 $\boldsymbol{A}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$, 矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 的秩是否都等于 $2$, 或者都等于 $3$——
计算可知，根据 $a$ 的不同取值，对应矩阵的秩如下：
- 当 $a = 1$ 或者 $a = -1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $2$, 否则，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $3$;
- 当 $a = 1$ 或者 $a = -1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $2$, 否则，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $3$;
- 当 $a = 1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $2$, 否则，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $3$.
接下来，我们有两种方法对 $a$ 的取值进行分析讨论——
方 法 一 ：逐个尝试
- 当 $a = 1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $2$;
- 当 $a = – 1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $\neq$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$;
- 当 $a \neq \pm 1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $3$.
因此，只有当 $a \neq – 1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 成立.
方 法 二 ：峰式画图法
分析可知，我们已经知道了 $a$ 的不同取值，以及对应矩阵的秩，所以，接下来要做的就是看看 $a$ 取什么值的时候，矩阵 $\boldsymbol{A}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 的秩相同.
于是，我们可以绘制两个同心圆，小圆对应的区域表示 $\mathrm{r}$ $=$ $2$, 大圆对应的区域表示 $\mathrm{r}$ $=$ $3$, 接着再绘制两条直线（这两条直线不一定需要垂直，此外，如果有更多的条件需要同时考虑，我们可以绘制更多的相交或者不相交的圆形以及直线），蓝色直线表示 $a$ $=$ $1$, 橙色直线表示 $a$ $=$ $-1$, 直线之外的其他区域表示 $a$ $\neq$ $1$ 且 $a$ $\neq$ $-1$, 从而构造一个如图 01 所示的筛选图：
因此：
对于“当 $a = 1$ 或者 $a = -1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $2$, 否则，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $3$”，我们可以将其以如图 02 所示的方式绘制在筛选图上：
对于“当 $a = 1$ 或者 $a = -1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $2$, 否则，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $3$”，我们可以将其以如图 03 所示的方式绘制在筛选图上：
对于“当 $a = 1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $2$, 否则，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $3$”，我们可以将其以如图 04 所示的方式绘制在筛选图上：
综上，我们就有了如图 05 所示的全局筛选图：
从上面的筛选图可以很明确地看出来：
- 当 $a$ $=$ $1$ 的时候，矩阵 $\boldsymbol{A}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 在小圆对应区域内的同一条线上，说明此时这三个矩阵的秩相等；
- 当 $a \neq \pm 1$ 的时候，矩阵 $\boldsymbol{A}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 在大圆对应区域内，说明此时这三个矩阵的秩相等；
- 当 $a$ $=$ $-1$ 的时候，只有矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 在小圆对应区域内的同一条线上，说明当 $a$ $=$ $-1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $\neq$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$，于是可知：
若要使 $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 成立，必须有：
$$
\textcolor{lightgreen}{
a \neq -1
}
$$
§2.2 将 $\boldsymbol{\beta}_{3}$ 用 $\boldsymbol {\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示
通过上面一问的计算可知，$a$ 的取值需要为 $a$ $=$ $1$ 或者 $a \neq \pm 1$.
于是，接下来将 $\boldsymbol{\beta}_{3}$ 用 $\boldsymbol {\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示的时候，需要分两种情况计算，第一种情况是：$a$ $=$ $1$; 第二种情况是：$a$ $\neq$ $\pm 1$—
(1) 当 $a$ $=$ $1$ 时
$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{3} \end{pmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
4 & 4 & 4 & 4
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 1 & -1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
\textcolor{orange}{x_{1}} & \textcolor{orange}{x_{2}} & \textcolor{orange}{x_{3}} & \textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{\beta}_{3}} \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 1 & -1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\ \\
\end{aligned}
$$
于是可知，线性方程 $\boldsymbol{\beta}_{3}$ $=$ $x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $x_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 的等价方程组为：
$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
3 = x_{1} + 2 x_{3} \\
-2 = x_{2} – x_{3}
\end{cases} \\ \\
\leadsto \ & \begin{cases}
2x_{3} = 3 – x_{1} \\
x_{3} = x_{2} + 2
\end{cases} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{\text{令 } x_{3} = k} \\ \\
\leadsto \ & \begin{cases}
x_{1} = 3 – 2k \\
x_{2} = k-2
\end{cases}
\end{aligned}
$$
于是：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{\beta}_{3} = (3 – 2k) \boldsymbol{\alpha}_{1} + (k-2) \boldsymbol{\alpha}_{2} + k \boldsymbol{\alpha}_{3}
}
$$
其中，$k$ 为任意常数.
(2) 当 $a$ $\neq$ $\pm 1$ 时
$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{3} \end{pmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
4 & 4 & a^{2}+3 & a^{2}+3
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{ 第三行减去第一行的四倍 } \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 0 & a^{2}-1 & a^{2}-1
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{ \text{第三行除以 } a^{2}-1 } \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{第一行减去第三行} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{第二行减去第三行的两倍} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{交换第一行和第二行} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{第二行减去第一行} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{3}} & \textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{\beta}_{3}} \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\end{aligned}
$$
由于上面得到的矩阵已经化简得很简单，所以，可以直接观察得到：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{\beta}_{3} = \boldsymbol{\alpha}_{1} – \boldsymbol{\alpha}_{2} + \boldsymbol{\alpha}_{3}
}
$$
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！
N 个未知数需要多少个等式才能确定其取值
基于环形矩阵初等变换图理解什么是可逆矩阵，什么是不可逆矩阵
一、前言
在「荒原之梦考研数学」的《通过矩阵初等变换图理解逆矩阵初等变换的“逆对称”性质》这篇文章中，我们看到了如何用矩阵初等变换图来表示可逆矩阵，而在本文中，我们就对矩阵初等变换图做进一步的升级，并基于升级之后的矩阵初等变换图表示出来不可逆的矩阵.
继续阅读“基于环形矩阵初等变换图理解什么是可逆矩阵，什么是不可逆矩阵”等价矩阵一定包含相似矩阵，反之则不一定
通过矩阵初等变换图理解逆矩阵初等变换的“逆对称”性质
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将从可逆矩阵的性质出发，通过图示的方式为同学们讲清楚由荒原之梦原创的逆矩阵的“逆对称”概念，这一概念的引入可以帮助同学们建立对矩阵的初等变换，以及对逆矩阵、转置矩阵和正交矩阵更加形象和直观的理解.
继续阅读“通过矩阵初等变换图理解逆矩阵初等变换的“逆对称”性质”