「荒原之梦考研数学」文章

一、前言

一般情况下，我们判断方程实数根的存在性或者函数实数解的存在性（也就是函数图像与 $X$ 轴是否存在交点，以及交点的个数）通常使用的方法是求导法，也就是通过求导判断函数的单调性，再利用函数的极值，判断函数图像与 $X$ 轴是否存在交点。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过原创的“峰式”变限积分法，来判断方程实数根（或函数实数解）的存在性，为同学们在求解该类型题目时提供另一种解题思路。

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一、题目

»A« $\lim_{ x \rightarrow 0 } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x}$ $=$ $\mathrm{e}$

»B« $\lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x}$ $=$ $1$

»C« $\lim_{ x \rightarrow \infty } \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{-x}$ $=$ $\mathrm{e}$

»D« $\lim_{ x \rightarrow \infty } \left( 1 – \frac{1}{x} \right)^{x}$ $=$ $-\mathrm{e}$

难度评级：

继续阅读“这个极限非常具有“迷惑力”！”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两种方法证明下面的对数次方公式（也称“对数指係公式”）：

$$
\log_{\alpha^{n}} x^{m} = \frac{m}{n} \log_{\alpha} x
$$

继续阅读“两种方法证明对数的“次方”/“指係”公式”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给出下面这个对数换底公式（也称“对数基变换公式”）的详细证明：

$$
\textcolor{pink}{ \log_{y} x } = \frac{\log_{\beta} x}{\log_{\beta} y}
$$

继续阅读“证明对数的“换底”/“基变换”公式”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过完善的逻辑推理，分别证明以下两个对数的“和”与“差”公式：

$$
\begin{aligned}
\log_{\alpha} M N & = \log_{\alpha} M + \log_{\alpha} N \\
\log_{\alpha} \frac{M}{N} & = \log_{\alpha} M – \log_{\alpha} N
\end{aligned}
$$

继续阅读“对数“和差”公式的完整证明”

一、前言

意大利物理学家、数学家和天文学家伽利略曾经说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”，同时，在我们学习数学或者使用数学的时候，也常常会遇到“对数”。

但是，取对数到底有什么用呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们揭开对数的“神秘”面纱。

正文

压缩数值

对数的其中一个作用就是可以“压缩”数值，或者说，对数可以反应较大数字的“量级”。

例如，对于数字 $123456$ 和 $654321$ 是两个相差特别大的数字，如果要比较这样的数字的大小，或者将其绘制在坐标图上，都不是很好表示，但如果我们对其取对数，就可以在减少这样的差异，并且不改变原有的大小关系（因为对数函数是一个单调递增的函数，可以保留原有的相对大小关系）：

$$
\log_{10}^{123456} \simeq 5.0915
$$

$$
\log_{10}^{654321} \simeq 5.8158
$$

在上面做数值压缩的过程中，我们使用的是底数为 $10$ 的“常用对数”，因为常用的数字就是十进制的，用底数为 $10$ 的对数可以很方便的显示出原有数字的量级（一个“量级”就是十进制的一个“位”，即千位、百位和十位等），例如：

$$
\log_{10}^{6 \times 10^{\textcolor{springgreen}{8}}} \simeq \textcolor{springgreen}{8}.7782
$$

$$
\log_{10}^{9 \times 10^{\textcolor{springgreen}{8}}} \simeq \textcolor{springgreen}{8}.9542
$$

$$
\log_{10}^{2 \times 10^{\textcolor{orangered}{9}}} \simeq \textcolor{orangered}{9}.3010
$$

当然，用其他底数也可以大致反映出不同十进制数字的相对大小，但不能反映出十进制数字原本的量级：

$$
\log_{\mathrm{e}}^{6 \times 10^{\textcolor{pink}{8}}} \simeq \textcolor{tan}{20}.2124
$$

$$
\log_{\mathrm{e}}^{9 \times 10^{\textcolor{pink}{8}}} \simeq \textcolor{tan}{20}.6179
$$

$$
\log_{\mathrm{e}}^{2 \times 10^{\textcolor{pink}{9}}} \simeq \textcolor{tan}{21}.4164
$$

Note

在实际应用中，至少下面的数值或者表示方法都使用了对数：
⁕ 里氏地震震级（用于描述地震烈度）
⁕ 分贝（用于音量）
⁕ 奈培（用于电功率）
⁕ 音分、小二度、全音及纯八度等（用于音乐中的相对音高）
⁕ Logit（用于统计学的发生比）
⁕ 巴勒莫撞击危险指数（用于表示近地天体撞击地球的危险几率）
⁕ 对数时间线
⁕ 焦比（用于计算摄影中的曝光量）
⁕ 熵（用于热力学）
⁕ 信息（用于信息论）
⁕ 土壤的颗粒尺寸分布的曲线
⁕ 对数星图（用于表示星体之间的相对位置）
⁕ 能量密度（用于铀和化石燃料能量密度的比较）
⁕ pH 值（用于表示酸性）
⁕ 视星（用于表示恒星亮度）
⁕ 克伦宾尺度（用于地质学中表示粒径）
⁕ 吸光度（用于描述物体的透光性能）

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变非线性为线性

此外，取对数的另一个作用就是将非线性的式子转换为线性的式子。

例如，当 $Z$ 为变量，$n$ 为常数的时候，”$Z^{n}$” 不是一个线性表达式，但是，对其取对数之后，就可以转变为线性表达式 “$n \log Z$”:

$$
\log Z^{n} = n \log Z
$$

同样的，当 $x$ 和 $y$ 为变量的时候，”$xy$” 不是一个线性表达式，但是对其取对数之后，就可以转变为线性表达式 “$\log x$ $+$ $\log y$”:

$$
\log (xy) = \log x + \log y
$$

线性表达式在计算上更加简单，在人工智能领域有着广泛且深入的应用。

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