「荒原之梦考研数学」文章

一、前言

在高等数学中，我们会用到“极限存在”和“极限不存在”这样的表述。那么：

1. 等于零属于极限存在的范畴吗？
2. 趋于零属于极限存在的范畴吗？
3. 趋于无穷小属于极限存在的范畴吗？
4. 趋于无穷大属于极限存在的范畴吗？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将针对上面的问题逐一解答。

逆复合运算

我们知道，如果将 $g \left( x \right) = x^{2} + 16$ 代入到函数 $f \left( x \right)$ 中，就得到了复合函数 $f \left[ g \left( x \right) \right]$.

如果要给函数 $f \left[ g \left( x \right) \right]$ 换一个表达上的形式，则可以写成：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f \left( x^{2} + 1 \right)
}
$$

上面的过程是将函数 $f(x)$ 变成函数 $f \left( x^{2} + 1 \right)$, 我们称之为“ 复 合 运 算 ”；如果是将函数 $f \left( x^{2} + 1 \right)$ 变成函数 $f \left( x \right)$, 就是本文所说的“ 逆 复 合 运 算 ”。

在本文中，我们讨论的重点是，在对形如 “$f \left( x^{2} + 1 \right)$” 这样的复合函数进行逆复合运算的时候，什么情况下适合用 换 元 法 ，什么情况下不适合用 换 元 法 。

一、题目

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{\ln (x + \sqrt{1+x^{2}})} – \frac{1}{\ln (1+x)} \right) \\ \\
I_{2} & = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{x^{2}} – \frac{1}{\sin^{2} x} \right)
\end{aligned}
$$

一、题目

$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\arctan x}{x} \right)^{\frac{1}{x^{2}}} = ?
$$

一、题目

微分方程 $y \mathrm {~d} x + \left( x^{2} – 3x \right) \mathrm{~d} y = 0$ 的通解为？

难度评级：

一、前言

已知微分方程中 $y$ 是 $x$ 的函数，即 $y = y(x)$, 那么，为什么对微分方程 $\frac{y^{\prime}}{y}$ $=$ $\frac{-1}{x}$ 左右两边同时进行的积分对应的式子是：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y = \int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x
}
$$

而不是：

$$
\textcolor{yellow}{
\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} x = \int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x
}
$$

同时，在本文中，「荒原之梦考研数学」也会从底层原理的角度，给同学们讲清楚为什么式子 $\int \frac{1}{y} \mathrm{~d} y$ 和 $\int \frac{-1}{x} \mathrm{~d} x$ 是相等的。

一、题目

若 $y=y(x)$ 为二阶常系数微分方程 $\frac{1}{2} y^{\prime \prime} + p y^{\prime} + q y$ $=$ $\mathrm{e}^{16x}$, 且满足初始条件 $y(0)$ $=$ $y^{\prime} (0)$ $=$ $0$ 的特解，则：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x^{2})}{y(x)} = ?
$$

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们讲解，在二阶常系数微分方程 $y ^{\prime \prime} + p y ^{\prime} + qy$ $=$ $f(x)$ 中，解的二阶导函数 $y ^{\prime \prime}$ 的连续性如何判断的问题。

其中，$p$ 和 $q$ 为常数，$f(x)$ 为微分方程的右端项。

一、前言

假设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可能是连续函数，也可能含有可去间断点，或者跳跃间断点，或者无穷间断点，或者震荡间断点，那么，如何判断函数 $f(x) \pm g(x)$ 的连续性？

Tip

阅读本文前，首先需要对函数的间断点有一个整体的认识，相关内容可以查阅《函数间断点的分类与图象示例》这篇文章。

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一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过直观形象的图示，为同学讲解清楚函数的间断点。

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助积分的平滑性来证明“可导必连续”这一结论，有关该结论的另一种证明方式，可以查阅《关于可导必连续的一个传统方式证明》这篇文章。