「荒原之梦考研数学」文章

求导会导致分式中分母的次幂增加:我们可以利用这个性质降低分母中的次幂

一、前言 前言 - 荒原之梦

我们知道,对 $\frac{u}{v}$ 求导(其中 $v \neq 0$),有如下公式:

$$
\left( \frac{u}{v} \right) ^{\prime} = \frac{u ^{\prime} v – u v ^{\prime} }{v ^{ 2 }}
$$

那么,这个公式除了可以用来对分式进行求导,还能用还做什么呢?

在接下来的文章中,「荒原之梦考研数学」就将为大家揭开谜底。

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每日箴言:每一座山峰,都经历了亿万年的历练,在无数个未与我们相遇的日子里,默默强大

微分的经典物理应用:底部匀速滑动的梯子问题

一、题目题目 - 荒原之梦

难度评级:

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每日箴言:学习是人的本能,也是人之所以为人的一个主要特征

沿墙面滑动的梯子的水平速度与垂直速度的关系式

一、前言 前言 - 荒原之梦

如图所示,一个长度为 $L$ 的梯子斜放在墙面上并开始按照图中箭头所示的方向滑动,在时刻 $t$, 该梯子下端的水平滑动速度为 $v_{t}$, 垂直滑动速度为 $v_{y}$, 请求出 $v_{t}$ 与 $v_{y}$ 满足的关系等式。

沿墙面滑动的梯子的水平速度与垂直速度的关系式 | 荒原之梦考研数学
图 01.

二、正文 正文 - 荒原之梦

由图 01 可知,在时刻 $t$ 的时候,长度为 $L$ 的梯子在水平方向上移动的距离为 $x$, 在垂直方向上移动的距离为 $y$, 由于这个移动距离的变量是时间 $t$, 所以,我们可以认为 $x$ 和 $y$ 都是时间 $t$ 的函数,即:

$$
\begin{aligned}
x(t) \
y(t)
\end{aligned}
$$

所以,根据勾股定理可得:

$$
x ^{ 2 } (t) + y ^{ 2 } (t) = L ^{ 2 } \tag{1}
$$

在 $(1)$ 式等号两端同时对 $t$ 求导,可得:

$$
\begin{aligned}
2x \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + 2y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = 0 \\ \\
& \Rightarrow 2y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = – 2x \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \\ \\
& \Rightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{-2x}{2y} \cdot \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \\ \\
& \Rightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{-x}{y} \cdot \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}
\end{aligned}
$$

由于 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ 表示的就是梯子上端沿墙面下滑时的速度 $v_{y}$, $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ 表示的就是梯子下端沿地面下滑时的速度 $v_{x}$, 所以:

$$
v_{y} = \frac{-x}{y} \cdot v_{x}
$$

当然,一般情况下,我们认为速度值都是正数,所以,如果已知 $v_{x}$, 要求解 $v_{y}$ 的话,我们一般使用下面这个公式:

$$
\textcolor{green}{
\boldsymbol{
v_{y} = \frac{x}{y} \cdot v_{x}
}
}
$$

相关例题 相关例题 - 荒原之梦

[1]. 微分的经典物理应用:底部匀速滑动的梯子问题


荒原之梦考研数学思维导图
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每日箴言:每一次长途的奔赴,都是为了下一次更近的相遇

长除法(多项式除法)的降幂和升幂两种计算方式简述

一、前言 前言 - 荒原之梦

长除法这种计算方式在计算两个多项式相除时非常有用,而且,长除法有“ ”和“ ”两种计算方式。

在本文中,荒原之梦考研数学将给同学讲明白下面这三个主要问题:

  1. 在长除法中,什么是“ ”?什么是“ ”?
  2. 怎么做 长除法?怎么做 长除法?
  3. 什么时候用 长除法?什么时候用 长除法?
继续阅读“长除法(多项式除法)的降幂和升幂两种计算方式简述”

每日箴言:我们不知道有什么事物会亘古永存,但只要存在过,就不会消失

每日箴言:真正的甘霖,总是润物无声;真正的热爱,从来不需要路人皆知

要学好考研数学,首先要掌握三个“心”

一、前言 前言 - 荒原之梦

考研数学是整个考研学习期间一个很大的“拦路虎”,考研数学的学习也是一个努力了但不一定立即有成效的过程,这也使得很多同学在学习考研数学的时候出现“畏惧感”。

为了帮助同学们尽快适应考研数学的学习节奏,明确考研数学的学习方式,「荒原之梦考研数学」在本文中将通过“静心”、“信心”和“恒心”这三个方面,给大家考研数学备考提供一些经验和建议。

二、正文 正文 - 荒原之梦

考研数学其实是可以短期“速成”的,这是因为:

  1. 考研的同学们大部分都有高等数学、线性代数和概率统计等课程的学习经历,学习考研数学,其实就是在复习学过的知识;
  2. 考研是一个全国性的考试,不是面向特定一小部分人的竞赛,所以题目难度还是比较容易接受的。

综合上面的内容,我们可以知道,考研数学不是非常难,大部分同学都是可以通过努力在考研数学上获得不错分数的。

但是,我们也不能认为考研数学很简单,因为这毕竟涉及到数百万考生的升学深造,必须要有一定的区分度。

因此,为了学好考研数学,更有把握地获得目标分数,我们要努力做好一下几点:

考研是一场艰苦的修行,所以我们才称考研成功为“上岸”。虽然人生的道路有千万条,“上岸”的路也不是只有考研这一种方式。但是,无论我们选择怎么样的人生道路,正确的走路方式其实都是类似的,「荒原之梦考研数学」在上面说的这几点内容,其实也适用于日常生活和学习的方方面面。

加油同学们,无论如何,我们都要为了梦想拼博一把!荒原之梦考研数学 | 本文结束


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