「荒原之梦考研数学」文章

一、题目

如图 01 所示，$X$ 轴上有一个线密度为常数 $\mu$, 长度为 $l$ 的细杆 $\bar{L}$，若质量为 $m$ 的质点 $\dot{M}$ 到细杆右端的距离为 $a$, 且引力系数为 $k$, 则质点 $\dot{M}$ 和细杆 $\bar{L}$ 之间引力的大小 $F$ 可表示为什么？

一、题目

请用定积分表示曲线 $y$ $=$ $x(x – 1)(2 – x)$ 与平面直角坐标系 $X$ 轴所围图形的面积 $S$

一、题目

判断下面反常积分的敛散性：

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \int_{− \infty}^{0} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x \\ \\
I_{2} & = \int_{0}^{+ \infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm {e}^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《田字格分段函数融合法》这篇文章中，我们初步掌握了基于“田字格”这一工具确定涉及分段函数的计算时应该分几段考虑的问题。

在本文中，我将继续拓展“田字格”这一工具，在自变量含有绝对值运算的题目中，给同学们讲解一下如何使用“田字格”确定应该分几段计算含有分段函数的相关问题。

一、题目

$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{2} \left(1 + \frac{2}{n} \right)^{2} \cdots \left(1 + \frac{n}{n} \right)^{2}} \\ \\
I_{2} & = \lim_{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^{2} \left(1 + \frac{2}{n} \right)^{2} \cdots \left(1 + \frac{n}{n} \right)^{2} \cdots \textcolor{orange}{ \left(1 + \frac{2n}{n} \right)^{2} } } \\ \\
\end{aligned}
$$

一、题目

使不等式 $\int _ { 1 } ^ { x } \frac { \sin t } { t } \mathrm { ~ d } t > \ln x$ 成立的 $x$ 的取值范围是多少？

一、题目

函数 $f(x)$ $=$ $\ln|(x-1)(x-2)(x-3)|$ 有多少个驻点？

一、前言

罗尔定理是高等数学和考研数学中一个基础且重要的定理，「荒原之梦考研数学」也使用一种非常直观的方式证明了罗尔定理。但是，我们在做题的时候就会发现，仅仅使用传统意义上的罗尔定理，有时候并不能非常好的完成解题，也就是说，罗尔定理需要“进化”。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过在无穷意义上对罗尔定理的扩展，为同学们提供另一个解题视角。

一、前言

本文要阐述的是一个非常直观的结论，那就是“沿着直角坐标系中 $X$ 轴或者 $Y$ 轴方向上的平移变换，并不会改变驻点在函数中的绝对位置”。

这一结论成立的原因在于，只要我们不对直线做旋转操作，只是沿着水平或者垂直方向上对水平直线的移动并不会导致水平直线变得不水平（水平直线在平面上的斜向运动可以拆分为水平方向与垂直方向上的运动）。

二、正文

接下来，「荒原之梦考研数学」将通过一个直观的示意图，解释清楚“平移变换不会改变函数中一个点是不是驻点”这一性质：

如图 01 所示，蓝色曲线是函数 $\textcolor{#6D9EEB}{\mathrm{Z} (x) }$ $=$ $- \left( x+2 \right)^{2} – 1$ 的函数图象，绿色曲线是函数 $\textcolor{#6AA84F}{\mathrm{K} (x)}$ $=$ $- x^{2} + 2$ 的函数图象，橙色曲线是函数 $\textcolor{#E69138}{\mathrm{F} (x)}$ $=$ $- \left( x-2 \right)^{2} + 3$ 的函数图象，且 $\mathrm{Z}(a_{2}) = \mathrm{Z}(b_{2})$, $\mathrm{K}(a_{0}) = \mathrm{K}(b_{0})$, $\mathrm{F}(a_{1}) = \mathrm{F}(b_{1})$:

可以看到，无论是将函数 $\mathrm{Z}(x)$ 沿着坐标系的 $X$ 轴和 $Y$ 轴方向平移到函数 $\mathrm{K}(x)$ 的位置，还是将函数 $\mathrm{F}(x)$ 沿着坐标系的 $X$ 轴和 $Y$ 轴方向平移到函数 $\mathrm{K}(x)$ 的位置，都不会改变驻点 $c_{2}$ 或 $c_{1}$ 在函数中的绝对位置。

考研数学思维导图

让考场上没有难做的数学题！

一、前言

罗尔定理是微分学中的一个非常重要的定理，也是引出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基础。但是，对罗尔定理的传统证明方法并不能非常直观的反映出罗尔定理的性质（不过，本文中仍然会给出基于传统数学方法的罗尔定理证明），所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用一种原创的方式，通过一个非常自然的过程，证明罗尔定理，因为我相信——

只 要 是 正 确 的 数 学 定 理 ，都 具 有 不 证 自 明 的 性 质 ，只 是 需 要 我 们 更 换 一 下 观 察 和 思 考 的 角 度 。

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过汽车在公路上行驶时的加速和减速过程，来帮助同学们理解函数在一点处的可导性，或者说函数在一点处导数的存在性。

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上连续，则 $\mathrm{d} \left[\int f(x) \mathrm{~d} x \right]$ $=$ $?$

一、前言

根据罗尔定理可知，如果函数 $f(x)$ 满足在闭区间 $[\textcolor{#3C78D8}{a}, \textcolor{#3C78D8}{b}]$ 上连续；在开区间 $(\textcolor{#3C78D8}{a}, \textcolor{#3C78D8}{b})$ 内可微分；在区间端点处的函数值相等，即 $f(\textcolor{#3C78D8}{a}) = f(\textcolor{#3C78D8}{b})$, 则至少有一个点 $\textcolor{#FFD966}{\xi} \in (\textcolor{#3C78D8}{a}, \textcolor{#3C78D8}{b})$, 使得 $f^{\prime}(\textcolor{#FFD966}{\xi}) = 0$, 也就是说，$\textcolor{#FFD966}{\xi}$ 就是函数 $f(x)$ 的一个驻点。

那么，如果，$f(\textcolor{#3C78D8}{a}) = f(\textcolor{#3C78D8}{b}) = 0$, 也就是函数 $f(x)$ 与坐标轴的 $X$ 轴存在两个交点 $\textcolor{#3C78D8}{a}$ 和 $\textcolor{#3C78D8}{b}$ 的时候，是否就意味着在区间 $(\textcolor{#3C78D8}{a}, \textcolor{#3C78D8}{b})$ 上一定会存在至少一个函数 $f(x)$ 的驻点呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们深入图解这一问题。

一、前言

在高等数学的学习和做题中，我们常常能看到，在表述极值点的时候，只是用了横坐标，那么，极 值 点 究竟是一个“ 点 ”吗？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们解开疑惑。