「荒原之梦考研数学」文章

峰图 | 从包含关系的视角理解用反证法逆转充分条件和必要条件的证明逻辑

一、前言

由《峰图 | 从包含关系的视角理解充分条件与必要条件》这篇讲义可知，我们可以用几何图形的相互包含关系表示充分条件和必要条件. 而反证法则可以将对充分条件的证明转为对必要条件的证明，或者将对必要条件的证明转为对充分条件的证明.

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示和比喻的方式，帮助同学们快速建立对上述的反证法证明逻辑的形象理解.

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峰说 | 为什么我们向往群山？

有人说，一滴水，只有融入大海，才能变成翻涌的浪花。

而人必须足够“大”，才能抵消自身固有的渺小所带来的无价值感。

所以，我们需要更宏大且包容的视野，去看辽阔的土地，广阔的大海，浩瀚的星空和无尽的沙漠。

因为，无边无际的大，可以让渺小的自己在物理尺度的庞大中窥见生命的意义与存在价值。

因为，当我们的灵魂寄托在平铺蔓延的土地，无限生长的海洋和耸入云宵的山峰时，生活中的那些羁绊，就变得渺小，心中的那些梦想，则开始伟大。

荒原之梦
2026 年 08 月 04 日 23 点 15 分

峰说 | 自我之我与他人之我的不同定义基准

对于旁观者而言，要“论迹不论心”；

对于自己而言，要“论心不论迹”。

“迹”是对外的，“心”是对内的——

对外我们不能展示“心”，因为没有人能直接看到“心”；

对内我们不能拘谨于“迹”，因为“迹”不一定是真的“心”。

很少有人能做到，也很少有人会相信“心”与“迹”的一致。

我们能做的，以及我们真正需要追求的，只是让自我之我与他人之我在“心”与“迹”的两种定义基准上相似。

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过绘图的方式，从几何包含关系的视角，帮助同学们建立对数学中“充分条件”、“必要条件”和“充要条件”之间关系的形象理解.

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峰说 | 人越成长，回忆与现实的割裂感就越强烈

人越成长，回忆与现实的割裂感就越强烈。

那些往事，都仿佛历历在目，每一帧都是真真切切逝去的每一分每一秒。

但却已是无法触碰的过眼云烟。

世界就是如此决绝，过去的就是过去了，谁也无法修正，谁也无法篡改，无论欢乐，还是痛苦，无论甘甜，还是苦涩。

成长，就是一列不断延展的列车，每一节车厢都是人生的拼图，定义了我们的过往，注视着我们的未来，冷冷的，安静的，没说一句话，但每一句话，都透彻心扉。

我们总是以为自己可以自由自在，但从现在的视角看向过去，过去的自己，总是身不由己。

也许，这种束缚，正是人生的独特乐趣，无法改变的过去，与无法预见的未来，将回味、懊悔、期待、恐惧，烹饪成了一道滋味绝美，但只有体验过的人，才能品味出滋味的菜肴。

荒原之梦
2026 年 07 月 20 日

2022考研数二第20题解析：多元复合函数的偏导数、一阶偏微分方程

一、题目

已知可微函数 $f\left(u, v\right)$ 满足 $\frac{\partial f\left(u, v\right)}{\partial u} – \frac{\partial f\left(u, v\right)}{\partial v} = 2 \left(u – v\right) \mathrm{e}^{-\left(u + v\right)}$, 且 $f\left(u, 0\right) = u^{2} \mathrm{e}^{-u}$.

（1）记 $g\left(x, y\right) = f\left(x, y – x\right)$, 求 $\frac{\partial g\left(x, y\right)}{\partial x}$;

（2）求 $f\left(u, v\right)$ 的表达式和极值.

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2022考研数二第19题解析：二重积分的计算

一、题目

已知平面区域 $D = \left\{\left(x, y\right) \mid y – 2 \leqslant x \leqslant \sqrt{4 – y^{2}}, \ 0 \leqslant y \leqslant 2\right\}$, 计算 $I = \iint_{D} \frac{\left(x – y\right)^{2}}{x^{2} + y^{2}} \mathrm{~d}x \mathrm{d}y$.

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2022考研数二第18题解析：一阶线性微分方程、曲线的弧长

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一、题目

设函数 $y \left( x \right)$ 是微分方程 $2 x y^{\prime} – 4 y = 2 \ln x – 1$, 满足条件 $y\left( 1 \right) = \frac{1}{4}$ 的解，求曲线 $y = y\left(x\right) \left( 1 \leqslant x \leqslant e \right)$ 的弧长.

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2022考研数二第17题解析：一点处导数的定义

一、题目

已知函数 $f\left(x\right)$ 在 $x = 1$ 处可导，且 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f\left(\mathrm{e}^{x^{2}}\right) – 3 f\left(1 + \sin^{2} x\right)}{x^{2}} = 2$，求 $f^{\prime}\left(1\right)$.

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2022考研数二第16题解析：矩阵的迹、矩阵的初等变换、矩阵的乘法运算

一、题目

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $3$ 阶矩阵，交换 $\boldsymbol{A}$ 的第 $2$ 行和第 $3$ 行，再将第 $2$ 列的 $-1$ 倍加到第一列，得到矩阵 $\begin{bmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 的迹 $\operatorname{tr} \left(\boldsymbol{A}^{-1}\right) = \underline{\qquad\qquad}$.

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2022考研数二第15题解析：极坐标系定积分的计算

一、题目

已知曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r = \sin 3 \theta \left( 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{3} \right)$, 则 $L$ 围成有界区域的面积为 $\underline{\qquad\qquad}$.

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2022考研数二第14题解析：三阶常系数线性齐次微分方程的求解

一、题目

$y^{\prime\prime\prime} – 2 y^{\prime\prime} + 5 y^{\prime} = 0$, 通解 $y\left(x\right) = \underline{\qquad\qquad}$.

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常用反三角函数的取值对照表

	$-1$	$\frac{- \sqrt{3}}{2}$	$\frac{- \sqrt{2}}{2}$	$\frac{-1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\arcsin$	$\frac{- \pi}{2}$	$\frac{- \pi}{3}$	$\frac{- \pi}{4}$	$\frac{- \pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\arccos$	$\pi$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$	$0$

	$-\sqrt{3}$	$-1$	$\frac{-1}{\sqrt{3}}$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$
$\arctan$	$\frac{- \pi}{3}$	$\frac{- \pi}{4}$	$\frac{- \pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$
$\operatorname{arccot}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$

上面四个反三角函数的取值范围为：

$$
\begin{aligned}
\arcsin x & \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \\
\arccos x & \in \left[ 0, \pi \right] \\
\arctan x & \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \\
\operatorname{arccot} x & \in \left( 0, \pi \right)
\end{aligned}
$$