9 月 2022 - 第5页共5页

空间区域的形心公式（B007）

问题

若空间区域

Ω

的体密度函数

ρ (x, y, z)

为常数

C

, 则该空间区域的 [形心] 坐标

(

\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}

)

=

?

选项

[A].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{C ∭_{Ω} x d x d y d z}{∭_{Ω} d x d y d z} \\ \bar{y} = \frac{C ∭_{Ω} y d x d y d z}{∭_{Ω} d x d y d z} \\ \bar{z} = \frac{C ∭_{Ω} z d x d y d z}{∭_{Ω} d x d y d z} \end{cases}

[B].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{∭_{Ω} x^{2} d x d y d z}{∭_{Ω} d x d y d z} \\ \bar{y} = \frac{∭_{Ω} y^{2} d x d y d z}{∭_{Ω} d x d y d z} \\ \bar{z} = \frac{∭_{Ω} z^{2} d x d y d z}{∭_{Ω} d x d y d z} \end{cases}

[C].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{∭_{Ω} d x d y d z}{∭_{Ω} x d x d y d z} \\ \bar{y} = \frac{∭_{Ω} d x d y d z}{∭_{Ω} y d x d y d z} \\ \bar{z} = \frac{∭_{Ω} d x d y d z}{∭_{Ω} z d x d y d z} \end{cases}

[D].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{∭_{Ω} x d x d y d z}{∭_{Ω} d x d y d z} \\ \bar{y} = \frac{∭_{Ω} y d x d y d z}{∭_{Ω} d x d y d z} \\ \bar{z} = \frac{∭_{Ω} z d x d y d z}{∭_{Ω} d x d y d z} \end{cases}

答案

${\begin{cases} \bar{x} = \frac{∭_{Ω} x d x d y d z}{∭_{Ω} d x d y d z} \\ \bar{y} = \frac{∭_{Ω} y d x d y d z}{∭_{Ω} d x d y d z} \\ \bar{z} = \frac{∭_{Ω} z d x d y d z}{∭_{Ω} d x d y d z} \end{cases}$

平面图形的形心公式（B007）

问题

若平面图形

D

的线密度函数

ρ (x, y)

为常数

C

, 则该平面图形的 [形心] 横坐标

\bar{x}

和纵坐标

\bar{y}

分别是多少？

选项

[A].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{\iint_{D} x d x d y}{\iint_{D} d x d y} \\ \bar{y} = \frac{\iint_{D} y d x d y}{\iint_{D} d x d y} \end{cases}

[B].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{C \iint_{D} x d x}{\iint_{D} d x d y} \\ \bar{y} = \frac{C \iint_{D} y d y}{\iint_{D} d x d y} \end{cases}

[C].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{\iint_{D} x^{2} d x d y}{\iint_{D} d x d y} \\ \bar{y} = \frac{\iint_{D} y^{2} d x d y}{\iint_{D} d x d y} \end{cases}

[D].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{\iint_{D} d x d y}{\iint_{D} x d x d y} \\ \bar{y} = \frac{\iint_{D} d x d y}{\iint_{D} y d x d y} \end{cases}

答案

${\begin{cases} \bar{x} = \frac{\iint_{D} x \cdot d x d y}{\iint_{D} d x d y} \\ \bar{y} = \frac{\iint_{D} y \cdot d x d y}{\iint_{D} d x d y} \end{cases}$

平面曲线的形心公式（B007）

问题

若平面曲线

L

的线密度函数为

ρ (x)

为常数

C

, 则该平面曲线形心坐标中的横坐标

\bar{x}

和纵坐标

\bar{y}

分别是多少？

选项

[A].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{C \int_{L} x d s}{\int_{L} d s} \\ \bar{y} = \frac{C \int_{L} y d s}{\int_{L} d s} \end{cases}

[B].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{\int_{L} x d s}{\int_{L} d s} \\ \bar{y} = \frac{\int_{L} y d s}{\int_{L} d s} \end{cases}

[C].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{\int_{L} x^{2} d s}{\int_{L} d s} \\ \bar{y} = \frac{\int_{L} y^{2} d s}{\int_{L} d s} \end{cases}

[D].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{\int_{L} d s}{\int_{L} x d s} \\ \bar{y} = \frac{\int_{L} d s}{\int_{L} y d s} \end{cases}

答案

${\begin{cases} \bar{x} = \frac{\int_{L} x \cdot d s}{\int_{L} d s} \\ \bar{y} = \frac{\int_{L} y \cdot d s}{\int_{L} d s} \end{cases}$

空间区域的质心公式（B007）

问题

若空间区域

Ω

的体密度为

ρ

, 则该空间区域质心坐标

(

\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}

)

=

?

选项

[A].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{∭_{Ω} x d x d y d z}{∭_{Ω} ρ d x d y d z} \\ \bar{y} = \frac{∭_{Ω} y d x d y d z}{∭_{Ω} ρ d x d y d z} \\ \bar{z} = \frac{∭_{Ω} z d x d y d z}{∭_{Ω} ρ d x d y d z} \end{cases}

[B].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{∭_{Ω} x^{2} ρ d x d y d z}{∭_{Ω} ρ d x d y d z} \\ \bar{y} = \frac{∭_{Ω} y^{2} ρ d x d y d z}{∭_{Ω} ρ d x d y d z} \\ \bar{z} = \frac{∭_{Ω} z^{2} ρ d x d y d z}{∭_{Ω} ρ d x d y d z} \end{cases}

[C].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{∭_{Ω} ρ d x d y d z}{∭_{Ω} x ρ d x d y d z} \\ \bar{y} = \frac{∭_{Ω} ρ d x d y d z}{∭_{Ω} y ρ d x d y d z} \\ \bar{z} = \frac{∭_{Ω} ρ d x d y d z}{∭_{Ω} z ρ d x d y d z} \end{cases}

[D].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{∭_{Ω} x ρ d x d y d z}{∭_{Ω} ρ d x d y d z} \\ \bar{y} = \frac{∭_{Ω} y ρ d x d y d z}{∭_{Ω} ρ d x d y d z} \\ \bar{z} = \frac{∭_{Ω} z ρ d x d y d z}{∭_{Ω} ρ d x d y d z} \end{cases}

答案

${\begin{cases} \bar{x} = \frac{∭_{Ω} x \cdot ρ d x d y d z}{∭_{Ω} ρ d x d y d z} \\ \bar{y} = \frac{∭_{Ω} y \cdot ρ d x d y d z}{∭_{Ω} ρ d x d y d z} \\ \bar{z} = \frac{∭_{Ω} z \cdot ρ d x d y d z}{∭_{Ω} ρ d x d y d z} \end{cases}$

平面图形的质心公式（B007）

问题

若平面图形

D

的线密度为

ρ (x, y)

, 则该平面图形质心坐标中的横坐标

\bar{x}

和纵坐标

\bar{y}

分别是多少？

选项

[A].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{\iint_{D} x d x}{\iint_{D} ρ (x, y) d x d y} \\ \bar{y} = \frac{\iint_{D} y d y}{\iint_{D} ρ (x, y) d x d y} \end{cases}

[B].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{\iint_{D} x^{2} ρ (x, y) d x d y}{\iint_{D} ρ (x, y) d x d y} \\ \bar{y} = \frac{\iint_{D} y^{2} ρ (x, y) d x d y}{\iint_{D} ρ (x, y) d x d y} \end{cases}

[C].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{\iint_{D} ρ (x, y) d x d y}{\iint_{D} x ρ (x, y) d x d y} \\ \bar{y} = \frac{\iint_{D} ρ (x, y) d x d y}{\iint_{D} y ρ (x, y) d x d y} \end{cases}

[D].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{\iint_{D} x ρ (x, y) d x d y}{\iint_{D} ρ (x, y) d x d y} \\ \bar{y} = \frac{\iint_{D} y ρ (x, y) d x d y}{\iint_{D} ρ (x, y) d x d y} \end{cases}

答案

${\begin{cases} \bar{x} = \frac{\iint_{D} x \cdot ρ (x, y) d x d y}{\iint_{D} ρ (x, y) d x d y} \\ \bar{y} = \frac{\iint_{D} y \cdot ρ (x, y) d x d y}{\iint_{D} ρ (x, y) d x d y} \end{cases}$

平面曲线的质心公式（B007）

问题

若平面曲线

L

的线密度为

ρ (x)

, 则该平面曲线质心坐标中的横坐标

\bar{x}

和纵坐标

\bar{y}

分别是多少？

选项

[A].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{\int_{L} x^{2} ρ d s}{\int_{L} ρ d s} \\ \bar{y} = \frac{\int_{L} y^{2} ρ d s}{\int_{L} ρ d s} \end{cases}

[B].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{\int_{L} ρ d s}{\int_{L} x ρ d s} \\ \bar{y} = \frac{\int_{L} ρ d s}{\int_{L} y ρ d s} \end{cases}

[C].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{\int_{L} x ρ d s}{\int_{L} ρ d s} \\ \bar{y} = \frac{\int_{L} y ρ d s}{\int_{L} ρ d s} \end{cases}

[D].

{\begin{cases} \bar{x} = \frac{\int_{L} x d s}{\int_{L} ρ d s} \\ \bar{y} = \frac{\int_{L} y d s}{\int_{L} ρ d s} \end{cases}

答案

${\begin{cases} \bar{x} = \frac{\int_{L} x \cdot ρ d s}{\int_{L} ρ d s} \\ \bar{y} = \frac{\int_{L} y \cdot ρ d s}{\int_{L} ρ d s} \end{cases}$

空间区域的质量公式（B007）

问题

若空间区域

Ω

的体密度函数为

μ (x, y, z)

, 则空间区域

Ω

的质量

m

=

?

选项

[A].

m

=

∭_{Ω}

μ (x, y, z)

d x

[B].

m

=

∭_{Ω}

| μ (x, y, z) |

d x

d y

d z

[C].

m

=

\iint_{Ω}

μ (x, y, z)

d x

d y

[D].

m

=

∭_{Ω}

μ (x, y, z)

d x

d y

d z

答案

$m$ $=$ $∭_{Ω}$ $μ (x, y, z)$ $d x$ $d y$ $d z$

平面图形的质量公式（B007）

问题

若平面图形

D

的面密度为

ρ (x, y)

, 则平面图形

D

的质量

m

=

?

选项

[A].

m

=

\iint_{D}

ρ (x, y)

d x

d y

[B].

m

=

\iint_{D}

| ρ (x, y) |

d x

d y

[C].

m

=

\int_{D}

ρ (x, y)

d x

d y

[D].

m

=

\iint_{D}

ρ (x, y)

d x

答案

$m$ $=$ $\iint_{D}$ $ρ (x, y)$ $d x$ $d y$

平面曲线的质量公式（B007）

问题

若曲线

L

的线密度为

ρ (x)

, 则曲线

L

的质量

m

=

?

选项

[A].

m

=

\int_{L}

ρ (x)

d x

[B].

m

=

\int

ρ (x)

d s

[C].

m

=

\int_{L}

ρ (x)

d s

[D].

m

=

\int_{L}

ρ (x)

d y

答案

若以曲线积分的方式描述，则线密度为 $ρ (x)$ 的曲线 $L$ 的质量为：

$m$ $=$ $\int_{L}$ $ρ (x)$ $d s$

计算旋转体的侧面积（B007）

问题

若平面图形由曲线

y

=

y (x)

与直线

x

=

a

x

=

b

和

x

轴围成，则该图形绕

x

轴旋转一周所形成的旋转体的侧面积

S

=

?

选项

[A].

S

=

2 π

\int_{a}^{b}

| f (x) | \sqrt{1 + f^{' 2} (x)}

d x

[B].

S

=

2 π

\int_{a}^{b}

| f (x) | \sqrt{1 + f^{2} (x)}

d x

[C].

S

=

2 π

\int_{a}^{b}

f (x) \sqrt{1 + f^{' 2} (x)}

d x

[D].

S

=

π

\int_{a}^{b}

| f (x) | \sqrt{1 + f^{' 2} (x)}

d x

答案

$S$ $=$ $2 \cdot π$ $\int_{a}^{b}$ $[$ $| f (x) | \sqrt{1 + f^{' 2} (x)}$ $]$ $d x$

计算平行截面面积已知的立体体积（B007）

问题

如下图所示，若已知

S (x)

为某立体垂直于

x

轴的截面面积函数，则，如何使用定积分表示该立体在

x

=

a

和

x

=

b

(

a

<

b

) 两个截面之间的体积

V

选项

[A].

V

=

\int_{a}^{b}

S^{2} (x)

d x

[B].

V

=

\int_{a}^{b}

| S (x) |

d x

[C].

V

=

\int_{b}^{a}

S (x)

d x

[D].

V

=

\int_{a}^{b}

S (x)

d x

答案

$V$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $S (x)$ $d x$

基于极坐标系计算平面曲线的弧长（B007）

问题

若有极坐标系下的方程

ρ

=

ρ (θ)

, 且

α

⩽

θ

⩽

β

, 则该极坐标方程在角度

θ

的取值范围

[α, β]

内的弧长

L

=

?

选项

[A].

L

=

\int_{α}^{β}

\sqrt{ρ^{' 2} (θ) - ρ^{' 2} (θ)}

d θ

[B].

L

=

\int_{α}^{β}

\sqrt{ρ^{2} (θ) - ρ^{' 2} (θ)}

d θ

[C].

L

=

\int_{α}^{β}

\sqrt{ρ^{' 2} (θ) + ρ^{2} (θ)}

d θ

[D].

L

=

\int_{α}^{β}

\sqrt{ρ^{2} (θ) + ρ^{' 2} (θ)}

d θ

答案

$L$ $=$ $\int_{α}^{β}$ $\sqrt{ρ^{2} (θ) + ρ^{' 2} (θ)}$ $d θ$

基于参数方程计算平面曲线的弧长（B007）

问题

若有参数方程

{\begin{cases} x = x (t) \\ y = y (t) \end{cases}

, 且参数

a

⩽

t

⩽

b

, 则该参数方程在区间

[a, b]

上的弧长

L

=

?

选项

[A].

L

=

\int_{a}^{b}

\sqrt{x^{' 2} (t) - y^{' 2} (t)} d t

[B].

L

=

\int_{a}^{b}

\sqrt{x^{' 2} (t) + y^{' 2} (t)} d t

[C].

L

=

\int_{a}^{b}

\sqrt{x^{2} (t) + y^{2} (t)} d t

[D].

L

=

\int_{a}^{b}

\sqrt{x^{'} (t) + y^{'} (t)} d t

答案

$L$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\sqrt{x^{' 2} (t) + y^{' 2} (t)} d t$

基于普通方程计算平面曲线的弧长（B007）

问题

若有普通方程

y

=

f (x)

在区间

[a, b]

上可积，则该方程在区间

[a, b]

上的弧长

L

=

?

选项

[A].

L

=

\int_{a}^{b}

[1 + f^{'} (x)] d x

[B].

L

=

\int_{a}^{b}

\sqrt{1 + f^{2} (x)} d x

[C].

L

=

\int_{a}^{b}

\sqrt{1 + f^{'} (x)} d x

[D].

L

=

\int_{a}^{b}

\sqrt{1 + f^{' 2} (x)} d x

答案

$L$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\sqrt{1 + f^{'} (x)} d x$

曲线 $x (y)$ 绕坐标轴旋转所形成的旋转体的体积（B007）

问题

如下图所示，橘黄色区域所表示的平面图形是由曲线

x

=

x (y)

与直线

y

=

c

y

=

d

以及

y

轴所围成的，那么，该平面图形分别绕

y

轴和

x

轴旋转一周所得的旋转体的体积

V_{y}

与

V_{x}

是多少？

曲线 $x(y)$ 绕坐标轴旋转所形成的旋转体的体积 | 荒原之梦

选项

[A].

{\begin{cases} V_{y} = π \int_{c}^{d} x^{2} (y) d y \\ V_{x} = 2 π \int_{c}^{d} y | x (y) | d y \end{cases}

[B].

{\begin{cases} V_{y} = 2 π \int_{c}^{d} x^{2} (y) d y \\ V_{x} = π \int_{c}^{d} y | x (y) | d y \end{cases}

[C].

{\begin{cases} V_{y} = π \int_{c}^{d} x (y) d y \\ V_{x} = 2 π \int_{c}^{d} y | x (y) | d y \end{cases}

[D].

{\begin{cases} V_{y} = π \int_{c}^{d} x^{2} (y) d y \\ V_{x} = 2 π \int_{c}^{d} y \cdot x (y) d y \end{cases}

答案

${\begin{cases} V_{y} = π \cdot \int_{c}^{d} x^{2} (y) d y \\ V_{x} = 2 \cdot π \int_{c}^{d} y \cdot | x (y) | d y \end{cases}$