基于参数方程计算平面曲线的弧长（B007）

问题

若有参数方程 $\begin{cases} & x = x(t) \\ & y = y(t) \end{cases}$, 且参数 $a$ $\leqslant$ $t$ $\leqslant$ $b$, 则该参数方程在区间 $[a, b]$ 上的弧长 $L$ $=$ $?$

选项

[A].   $L$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\sqrt{x^{2}(t) + y^{2}(t)} \mathrm{d} t$

[B].   $L$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\sqrt{x^{\prime}(t) + y^{\prime}(t)} \mathrm{d} t$

[C].   $L$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\sqrt{x^{\prime 2}(t) – y^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t$

[D].   $L$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $\sqrt{x^{\prime 2}(t) + y^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t$

   答 案   

$L$ $=$ $\int_{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{orange}{b}}$ $\textcolor{red}{\sqrt{x^{\prime 2}(t) + y^{\prime 2}(t)}} \mathrm{d} t$