基于极坐标系计算平面曲线的弧长（B007）

问题

若有极坐标系下的方程 $\rho$ $=$ $\rho(\theta)$, 且 $\alpha$ $\leqslant$ $\theta$ $\leqslant$ $\beta$, 则该极坐标方程在角度 $\theta$ 的取值范围 $[\alpha, \beta]$ 内的弧长 $L$ $=$ $?$

选项

[A].   $L$ $=$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $\sqrt{\rho^{\prime 2}(\theta) – \rho^{\prime 2}(\theta)}$ $\mathrm{d} \theta$

[B].   $L$ $=$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $\sqrt{\rho^{2}(\theta) – \rho^{\prime 2}(\theta)}$ $\mathrm{d} \theta$

[C].   $L$ $=$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $\sqrt{\rho^{\prime 2}(\theta) + \rho^{2}(\theta)}$ $\mathrm{d} \theta$

[D].   $L$ $=$ $\int_{\alpha}^{\beta}$ $\sqrt{\rho^{2}(\theta) + \rho^{\prime 2}(\theta)}$ $\mathrm{d} \theta$

   答 案   

$L$ $=$ $\int_{\textcolor{orange}{\alpha}}^{\textcolor{orange}{\beta}}$ $\textcolor{red}{\sqrt{\rho^{2}(\theta) + \rho^{\prime 2}(\theta)}}$ $\mathrm{d} \theta$