平面图形的形心公式（B007）

问题

若平面图形 $D$ 的线密度函数 $\rho (x,y)$ 为常数 $C$, 则该平面图形的 [形心] 横坐标 $\overline{x}$ 和纵坐标 $\overline{y}$ 分别是多少？

选项

[A].   $\{\begin{array}{ll}& \overline{x}=\frac{{\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{{\iint }_{D}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\\ & \overline{y}=\frac{{\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{{\iint }_{D}y\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\end{array}$

[B].   $\{\begin{array}{ll}& \overline{x}=\frac{{\iint }_{D}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{{\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\\ & \overline{y}=\frac{{\iint }_{D}y\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{{\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\end{array}$

[C].   $\{\begin{array}{ll}& \overline{x}=\frac{C{\iint }_{D}x\mathrm{d}x}{{\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\\ & \overline{y}=\frac{C{\iint }_{D}y\mathrm{d}y}{{\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\end{array}$

[D].   $\{\begin{array}{ll}& \overline{x}=\frac{{\iint }_D{x}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{{\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\\ & \overline{y}=\frac{{\iint }_D{y}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{{\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\end{array}$

   答 案   

$\{\begin{array}{ll}& \overline{x}=\frac{{\iint }_{D}x\cdot \mathrm{d}x\mathrm{d}y}{{\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\\ & \overline{y}=\frac{{\iint }_{D}y\cdot \mathrm{d}x\mathrm{d}y}{{\iint }_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y}\end{array}$