曲线 $x(y)$ 绕坐标轴旋转所形成的旋转体的体积（B007）

问题

如下图所示，橘黄色区域所表示的平面图形是由曲线 $x$ $=$ $x(y)$ 与直线 $y$ $=$ $c$, $y$ $=$ $d$ 以及 $y$ 轴所围成的，那么，该平面图形分别绕 $y$ 轴和 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积 $V_y$ 与 $V_x$ 是多少？

选项

[A].   $\{\begin{array}{ll}& V_y=2\pi {\int }_c^d{x}^2(y)\mathrm{d}y\\ & V_x=\pi {\int }_c^{d}y|x(y)|\mathrm{d}y\end{array}$

[B].   $\{\begin{array}{ll}& V_y=\pi {\int }_c^{d}x(y)\mathrm{d}y\\ & V_x=2\pi {\int }_c^{d}y|x(y)|\mathrm{d}y\end{array}$

[C].   $\{\begin{array}{ll}& V_y=\pi {\int }_c^d{x}^2(y)\mathrm{d}y\\ & V_x=2\pi {\int }_c^{d}y\cdot x(y)\mathrm{d}y\end{array}$

[D].   $\{\begin{array}{ll}& V_y=\pi {\int }_c^d{x}^2(y)\mathrm{d}y\\ & V_x=2\pi {\int }_c^{d}y|x(y)|\mathrm{d}y\end{array}$

   答 案   

$\{\begin{array}{ll}& V_y=\pi \cdot {\int }_c^d{x}^2(y)\mathrm{d}y\\ & V_x=2\cdot \pi {\int }_c^{d}y\cdot |x(y)|\mathrm{d}y\end{array}$