曲线 $y(x)$ 绕坐标轴旋转所形成的旋转体的体积（B007）

问题

如下图所示，橘黄色区域所表示的平面图形是由曲线 $y$ $=$ $y(x)$ 与直线 $x$ $=$ $a$, $x$ $=$ $b$ 以及 $x$ 轴所围成的，那么，该平面图形分别绕 $x$ 轴和 $y$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积 $V_x$ 与 $V_y$ 是多少？

选项

[A].   $\{\begin{array}{ll}& V_x=\pi {\int }_a^{b}y(x)\mathrm{d}x\\ & V_y=2\pi {\int }_a^{b}x|y(x)|\mathrm{d}x\end{array}$

[B].   $\{\begin{array}{ll}& V_x=\pi {\int }_a^b{y}^2(x)\mathrm{d}x\\ & V_y=2\pi {\int }_a^{b}x\cdot y(x)\mathrm{d}x\end{array}$

[C].   $\{\begin{array}{ll}& V_x=\pi {\int }_a^b{y}^2(x)\mathrm{d}x\\ & V_y=2\pi {\int }_a^{b}x|y(x)|\mathrm{d}x\end{array}$

[D].   $\{\begin{array}{ll}& V_x=2\pi {\int }_a^b{y}^2(x)\mathrm{d}x\\ & V_y=\pi {\int }_a^{b}x|y(x)|\mathrm{d}x\end{array}$

   答 案   

$\{\begin{array}{ll}& V_x=\pi \cdot {\int }_a^b{y}^2(x)\mathrm{d}x\\ & V_y=2\cdot \pi {\int }_a^{b}x\cdot |y(x)|\mathrm{d}x\end{array}$