考研数学 - 第91页共149页

正项级数敛散性的比较判别法（B024）

问题

已知 $0$ $\leqslant$ $u_{n}$ $\leqslant$ $v_{n}$, 则，以下关于正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性关系的说法中，正确的是哪个？

选项

[A].
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散

[B].
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

[C].
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛

[D].
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散

答案

若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散

级数 $\sum_{n=2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln ^{p} n}$ 的敛散性判别（B024）

问题

关于级数 $\sum_{n=2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln ^{p} n}$ 的敛散性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\sum_{n=2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln ^{p} n}$ $\left\{\begin{array}{ll} 收敛, & p \geqslant 1, \\ 发散, & p \leqslant 1. \end{array}\right.$

[B]. $\sum_{n=2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln ^{p} n}$ $\left\{\begin{array}{ll} 收敛, & p>1, \\ 发散, & p < 1. \end{array}\right.$

[C]. $\sum_{n=2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln ^{p} n}$ $\left\{\begin{array}{ll} 收敛, & p>0, \\ 发散, & p \leqslant 0. \end{array}\right.$

[D]. $\sum_{n=2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln ^{p} n}$ $\left\{\begin{array}{ll} 收敛, & p>1, \\ 发散, & p \leqslant 1. \end{array}\right.$

答案

$\sum_{n=2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln ^{p} n}$ $\left\{\begin{array}{ll} 收敛, & p>1, \\ 发散, & p \leqslant 1. \end{array}\right.$

$p$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}$ 的敛散性判别（B024）

问题

关于 $p$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}$ 的敛散性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}$ $\left\{\begin{array}{l} 收敛, \quad p > 1, \\ 发散, p < 1 \text. \end{array}\right.$

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}\left\{\begin{array}{l} 收敛, \quad p \geqslant 1, \\ 发散, p \leqslant 1 \text. \end{array}\right.$

[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}\left\{\begin{array}{l} 收敛, \quad p > 1, \\ 发散, p = 1 \text. \end{array}\right.$

[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}\left\{\begin{array}{l} 收敛, \quad p > 1, \\ 发散, p \leqslant 1 \text. \end{array}\right.$

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}\left\{\begin{array}{l} 收敛, \quad p > 1, \\ 发散, p \leqslant 1 \text. \end{array}\right.$

等比级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a q^{n-1}$ 的敛散性判别（B024）

问题

关于等比级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a q^{n-1}$ 的敛散性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a q^{n-1}$ $\left\{\begin{array}{ll} =\frac{a}{1-q}, & |q| \leq 1, \\ 发散, & |q| \geq 1. \end{array}\right.$

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a q^{n-1}$ $\left\{\begin{array}{ll} =\frac{a}{1-q}, & |q| < 1, \\ 发散, & |q| > 1. \end{array}\right.$

[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a q^{n-1}$ $\left\{\begin{array}{ll} =\frac{a}{1-q}, & |q| < 1, \\ 发散, & |q| = 1. \end{array}\right.$

[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a q^{n-1}$ $\left\{\begin{array}{ll} =\frac{a}{1-q}, & |q| < 1, \\ 发散, & |q| \geq 1. \end{array}\right.$

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a q^{n-1}$ $\left\{\begin{array}{ll} =\frac{a}{1-q}, & |q| < 1, \\ 发散, & |q| \geq 1. \end{array}\right.$

级数收敛的必要条件（B023）

问题

级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛的必要条件是？

选项

[A]. $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $\infty$

[B]. $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $1$

[C]. $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$

[D]. $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $-1$

答案

$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$

通过括号辅助判断级数的敛散性（B023）

问题

以下关于加括号后所得的新级数的敛散性和原级数的之间关系的结论中，正确的是哪一项？

选项

[A].
若一个级数加括号后所得的新级数发散，则，原级数发散
若一个级数加括号后所得的新级数收敛，则，原级数的敛散性不定

[B].
若一个级数加括号后所得的新级数发散，则，原级数收敛
若一个级数加括号后所得的新级数收敛，则，原级数发散

[C].
若一个级数加括号后所得的新级数发散，则，原级数发散
若一个级数加括号后所得的新级数收敛，则，原级数的收敛

[D].
若一个级数加括号后所得的新级数发散，则，原级数收敛
若一个级数加括号后所得的新级数收敛，则，原级数的敛散性不定

答案

若一个级数加括号后所得的新级数发散，则，原级数发散
若一个级数加括号后所得的新级数收敛，则，原级数的敛散性不定

解释：括号具有“约束”作用，对一个级数中的项任意的添加括号可以使这个级数具备趋向于收敛的趋势（但不一定会真的收敛）。

括号对级数求和结果的影响（B023）

问题

已知，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛，则对其各项任意加括号后所得的新级数与原级数之间存在怎样的关系？

选项

[A]. 新级数的收敛值大于原级数

[B]. 新级数仍收敛于原级数的和

[C]. 新级数的收敛值与原级数无关

[D]. 新级数的收敛值小于原级数

答案

新级数仍收敛于原级数的和

级数中的有限项对级数敛散性的影响（B023）

问题

增加、删除或者更改级数中的有限项是否会影响级数的敛散性？

选项

[A]. 不确定

[B]. 影响

[C]. 不影响

[D]. 不知道

答案

不影响

数项级数的加减运算：全都发散的加减敛散性（B023）

问题

已知有两个级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 均发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 的敛散性如何？

选项

[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 收敛

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 的敛散性不确定

[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 的敛散性不确定 $=$ $0$

[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 发散

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 的敛散性不确定

数项级数的加减运算：一敛一散的加减敛散性（B023）

问题

已知有两个级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 的敛散性如何？

选项

[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 收敛

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 发散

[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ $=$ $0$

[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 敛散性不确定

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 发散

数项级数的加减运算：求和结果的加减性质（B023）

问题

已知有两个级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ $=$ $s$, $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ $=$ $\sigma$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ $=$ $?$

选项

[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ $=$ $s$ $\mp$ $\sigma$

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ $=$ $s$ $\pm$ $\sigma$

[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ $=$ $\frac{s}{\sigma}$

[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ $=$ $s$ $\times$ $\sigma$

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ $=$ $s$ $\pm$ $\sigma$

非零常数对数项级数敛散性的影响（B023）

问题

已知 $c$ 为非零常数，则，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $c$ $\cdot$ u_{n}$ 的敛散性关系如何？

选项

[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $c$ $\cdot$ u_{n}$ 的敛散性无关

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $c$ $\cdot$ u_{n}$ 的敛散性相反

[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $c$ $\cdot$ u_{n}$ 的敛散性相同

[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $c$ $\cdot$ u_{n}$ 的敛散性不能确定

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $c$ $\cdot$ u_{n}$ 的敛散性相同

旋度的定义（B022）

问题

已知 $\boldsymbol{A}(x, y, z)$ $=$ $P(x, y, z)$ $\boldsymbol{i}$ $+$ $Q(x, y, z)$ $\boldsymbol{j}$ $+$ $R(x, y, z)$ $\boldsymbol{k}$, 则旋度 $\boldsymbol{r o t} \mathbf{A}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\boldsymbol{r o t} \mathbf{A}$ $=$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\boldsymbol{i}$ $+$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\boldsymbol{j}$ $+$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\boldsymbol{k}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} P & Q & R \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \end{array}\right|$

[B]. $\boldsymbol{r o t} \mathbf{A}$ $=$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\boldsymbol{i}$ $\times$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\boldsymbol{j}$ $\times$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\boldsymbol{k}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right|$

[C]. $\boldsymbol{r o t} \mathbf{A}$ $=$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $+$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\boldsymbol{i}$ $-$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $+$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\boldsymbol{j}$ $-$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\boldsymbol{k}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right|$

[D]. $\boldsymbol{r o t} \mathbf{A}$ $=$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\boldsymbol{i}$ $+$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\boldsymbol{j}$ $+$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\boldsymbol{k}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right|$

答案

$\boldsymbol{r o t} \mathbf{A}$ $=$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\boldsymbol{i}$ $+$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\boldsymbol{j}$ $+$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\boldsymbol{k}$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right|$

散度的定义（B022）

问题

已知 $\boldsymbol{A}(x, y, z)$ $=$ $P(x, y, z)$ $\boldsymbol{i}$ $+$ $Q(x, y, z)$ $\boldsymbol{j}$ $+$ $R(x, y, z)$ $\boldsymbol{k}$, 则，$\boldsymbol{A}$ 在点 $(x, y, z)$ 处的散度 $\operatorname{div} \boldsymbol{A}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\operatorname{div} \boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial z}$

[B]. $\operatorname{div} \boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $+$ $\frac{\partial R}{\partial z}$

[C]. $\operatorname{div} \boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{\partial x}{\partial P}$ $+$ $\frac{\partial y}{\partial Q}$ $+$ $\frac{\partial z}{\partial R}$

[D]. $\operatorname{div} \boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $\times$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $\times$ $\frac{\partial R}{\partial z}$

答案

$\operatorname{div} \boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $+$ $\frac{\partial R}{\partial z}$

通量/流量的定义（B022）

问题

已知 $\boldsymbol{A}(x, y, z)$ $=$ $P(x, y, z)$ $\boldsymbol{i}$ $+$ $Q(x, y, z)$ $\boldsymbol{j}$ $+$ $R(x, y, z)$ $\boldsymbol{k}$, 且 $P$, $Q$, $R$ 有一阶连续偏导数，$\Sigma$ 为场内一有向曲面，$\boldsymbol{n}$ 为 $\Sigma$ 上点 $(x, y, z)$ 处的单位法向量，则，根据通量（或者称之为“流量”）的定义，以下哪个选项是 $\boldsymbol{A}$ 通过曲面 $\Sigma$ 向着指定侧的通量（流量）？

选项

[A]. $\iint_{\Sigma}$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{n}$ $\mathrm{~d} S$

[B]. $\iint_{\Sigma}$ $\boldsymbol{A}$ $\mathrm{~d} S$

[C]. $\iint_{\Sigma}$ $\boldsymbol{A}$ $\cdot$ $\boldsymbol{n}$ $\mathrm{~d} S$

[D]. $\boldsymbol{n}$ $\cdot$ $\iint_{\Sigma}$ $\boldsymbol{A}$ $\mathrm{~d} S$

答案

$\iint_{\Sigma}$ $\boldsymbol{A}$ $\cdot$ $\boldsymbol{n}$ $\mathrm{~d} S$