正项级数比较判别法的极限形式：$0$ $⩽$ $A$ $<$ $+\mathrm{\infty }$（B024）

问题

已知，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 及 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 均为正项级数，且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\frac{u_n}{v_n}$ $=$ $A$ $($ $v_n$ $\ne$ $0$ $)$.

若 $0$ $⩽$ $A$ $<$ $+\mathrm{\infty }$, 则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 之间敛散性的关系如何？

选项

[A].   若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 发散

[B].   若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛

[C].   若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 发散

[D].   若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛

   答 案   

若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛